Разведочный анализ свойств временных рядов на основе использования интерактивной программы Spectra_Analyzer. Любушин А.А. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

28
с другом соотношением , которое вытекает из масштабирующих
уравнений ортогонального кратно-разрешающего анализа:
1
() (1) (1 )
k
gk h k
−
=− −
11
(/2) () ( ), (/2) () ( )
22
kk
thktktgkt
+∞ +∞
=−∞ =−∞
Φ= ⋅Φ− Ψ= ⋅Φ−
∑∑
k
(1.11)
для масштабирующей и основной базисной функций. Для финитных базисных функций
Добеши число ненулевых коэффициентов в линейных зеркальных фильтрах и
равно порядку функции . Например, для вейвлета Хаара
2
()
p
Ds
()gk
()hk 2 p
() 1/ 2=hk для
0,1
=
k
и
для всех прочих . Для функций Добеши 4-го и 6-го порядков коэффициенты
зеркальных фильтров находятся аналитически из линейных уравнений, вытекающих из
условия (1.5b) обнуления заданного числа первых моментов, но для более высоких порядков
эти линейные уравнения решаются уже численно. Следует заметить, что с ростом порядка
вейвлета обусловленность линейных уравнений уменьшается и растет ошибка округления.
Поэтому обычно ограничиваются вейвлетами до 20-го порядка.
() 0=hk
k
Алгоритмически вейвлет-преобразование является линейным ортогональным
преобразованием −мерного вектора выборки в вектор коэффициентов
, длина которого также равна и который состоит из
постоянной на первом месте и последовательно состыкованных друг с другом
коэффициентов всех уровней детальности, начиная с −го,
(
N
()zt
() () () ()
11
( , ,...,( , 1,..., ),...)==
Nmm
zj
Cac cj n
β
β
N
()
1
m
a
m
1)
−
m
−го и так далее, вплоть до
коэффициентов первого уровня детальности, занимающего всю вторую половину вектора
()
N
z
C
[17]. Обратное преобразование вектора
()
N
z
C
дает исходную выборку . Заметим, что
обратное вейвлет-преобразование осуществляется также в виде последовательных шагов
восстановления аппроксимирующего сигнала уровня
()zt
β
из вейвлет-коэффициентов
(1)
+
k
c
β
и
аппроксимирующего сигнала
(1)
+
k
a
β
уровня
(1)
+
β
с использованием зеркальных
сопряженных фильтров по формуле:
() ( 1) ( 1)
( 2 ) ( 2 ) , 1,..., 2
+−
=
−⋅ + −⋅ = ⋅
∑∑
jk k
kk
a hjka gjkc j N
β
βββ
(1.12)
Обратное преобразование начинается с коэффициентов и последнего (самого
низкочастотного) уровня детальности с номером и заканчивается на 1-ом уровне. При
()
1
m
a
()
1
m
c
m
                                                                 28
с другом соотношением g (k ) = (−1)1− k h(1 − k ) , которое вытекает из масштабирующих
уравнений ортогонального кратно-разрешающего анализа:


                                            +∞                                                   +∞
                        1                                                  1
                         2
                           Φ (t / 2) =      ∑
                                           k =−∞
                                                   h(k ) ⋅ Φ (t − k ),
                                                                            2
                                                                              Ψ (t / 2) =       ∑ g (k ) ⋅ Φ(t − k )
                                                                                                k =−∞
                                                                                                                               (1.11)



для масштабирующей и основной базисной функций. Для финитных базисных функций
Добеши D2 p ( s ) число ненулевых коэффициентов в линейных зеркальных фильтрах g ( k ) и

h(k ) равно порядку функции 2 p . Например, для вейвлета Хаара h( k ) = 1/ 2 для k = 0,1 и
h( k ) = 0 для всех прочих k . Для функций Добеши 4-го и 6-го порядков коэффициенты
зеркальных фильтров находятся аналитически из линейных уравнений, вытекающих из
условия (1.5b) обнуления заданного числа первых моментов, но для более высоких порядков
эти линейные уравнения решаются уже численно. Следует заметить, что с ростом порядка
вейвлета обусловленность линейных уравнений уменьшается и растет ошибка округления.
Поэтому обычно ограничиваются вейвлетами до 20-го порядка.
    Алгоритмически             вейвлет-преобразование                     является              линейным             ортогональным
преобразованием          N −мерного              вектора         выборки            z (t )      в       вектор       коэффициентов

Cz( N ) = (a (1m ) , c (1m ) ,..., (c (jβ ) , j = 1,..., nβ ),...) , длина которого также равна N и который состоит из

постоянной a (1m ) на первом месте и последовательно состыкованных друг с другом

коэффициентов всех уровней детальности, начиная с m −го, ( m − 1) −го и так далее, вплоть до
коэффициентов первого уровня детальности, занимающего всю вторую половину вектора
C z( N ) [17]. Обратное преобразование вектора C z( N ) дает исходную выборку z (t ) . Заметим, что

обратное вейвлет-преобразование осуществляется также в виде последовательных шагов
восстановления аппроксимирующего сигнала уровня β из вейвлет-коэффициентов c ( βk +1) и

аппроксимирующего            сигнала          a ( βk +1)   уровня        ( β + 1)       с    использованием               зеркальных

сопряженных фильтров по формуле:


                         a (jβ ) = ∑ h( j − 2k ) ⋅ a ( βk +1) + ∑ g ( j − 2k ) ⋅ c ( βk +1) ,       j = 1,..., N ⋅ 2− β        (1.12)
                                   k                              k




    Обратное преобразование начинается с коэффициентов a (1m ) и c (1m ) последнего (самого

низкочастотного) уровня детальности с номером m и заканчивается на 1-ом уровне. При

Страницы