Разведочный анализ свойств временных рядов на основе использования интерактивной программы Spectra_Analyzer. Любушин А.А. - 29 стр.

                                                     29
этом происходит увеличение в 2 раза числа отсчетов в аппроксимирующем сигнале каждый
раз при уменьшении номера уровня детальности – до тех пор, пока последовательность
восстановлений не остановится на 1-ом уровне детальности и число отсчетов не станет
равным    N . Прямое и обратное вейвлет-преобразования (1.10) и (1.12) допускают
программную реализацию в виде быстрых алгоритмов, требующих O ( N ) операций, что по

скорости превосходит быстрое преобразование Фурье [3,7,12,17]. Компонента z ( β ) (t )

является результатом обратного преобразования вектора коэффициентов типа C z( N ) , при

условии обнуления всех коэффициентов, кроме соответствующих уровню β .

   Компонента z ( β ) (t ) для достаточно большого значения N частотно локализована в
полосе:
                                  β)       β)
                             [Ω (min , Ω (max ] = [1/(2( β +1) Δ s ), 1/(2 β Δ s )]                   (1.13)


где Δ s – длина интервала опроса. Значение коэффициента c (jβ ) отражает поведение сигнала

z (t ) в окрестности точки τ (j β ) на интервале длиной p 2 β отсчетов. Следовательно, чем более

гладким является вейвлет, тем шире этот интервал. Однако основные вариации (всплески)
финитной базисной функции ψ ( β ) ( s ) всегда сосредоточены на интервале длиной 2 β

независимо от параметра гладкости p . Поэтому каждому коэффициенту c (jβ ) припишем

«временную    зону    ответственности»          длиной         Δ T ( β ) = Δ s 2β .   Произведение   ширины

ΔΩ( β ) = 1/(2β +1 Δ s ) частотной полосы (1.13) на длину временного интервала ΔT ( β ) задает
площадь так называемых «ящиков Гейзенберга» на плоскости «время-частота», которая
равна ½ независимо от рассматриваемого уровня детальности.
   Самым мелкомасштабным уровнем детальности в формуле (1.6) является первый, общее
число уровней детальности m зависит от длины выборки. Совокупность значений c (jβ ) и a (1m )

вычисляются путем прямого быстрого вейвлет-преобразования [3,7,17]. Они однозначно
определяют исходную выборку z (t ) , которая может быть восстановлена по заданным c (jβ ) и

a (1m ) путем обратного быстрого вейвлет-преобразования. Уровень детальности можно

ассоциировать с номером частоты (частотным дискретом) в классическом дискретном
Фурье-преобразовании. Отличие вейвлет-разложения состоит в том, что набор “вейвлет-
частот” значительно более редок (равномерен в логарифмической шкале), чем в Фурье-
анализе. Это является платой за важное свойство – финитность базисных функций, которое
отсутствует в Фурье-разложении и которое позволяет гораздо более точно определять