Разведочный анализ свойств временных рядов на основе использования интерактивной программы Spectra_Analyzer. Любушин А.А. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

27
линейной фильтрации дискретного сигнала. На первом шаге происходит разделение
дискретного сигнала на 2 части: вейвлет-коэффициенты 1-го уровня детальности
(1)
j
c
(или
«детальный сигнал» 1-го уровня) и т.н. аппроксимирующий (сглаженный) сигнал
(1)
j
a
1-го
уровня по формуле:
(1) (0) (1) (0) (0)
( 2 ) , ( 2 ) , ( ), 1,..., / 2
jtjtt
tt
cgtjaahtjaaztjN=−⋅ =−⋅ ≡ =
∑∑
(1.9)
Коэффициенты линейного фильтра в формуле (1.9) обладают свойством выделения
высоких частот, а коэффициенты – свойством сглаживания. Отметим, что формулы
(1.9) включают в себя не только линейную фильтрацию, но и прореживание в 2 раза –
поэтому детальный и аппроксимирующий сигналы содержат в 2 раза меньше отсчетов, чем
исходный. Из-за конечной длины выборки при применении формул (1.9) возникают
технические сложности в начале и в конце выборки. Существуют различные приемы
преодоления этих трудностей, например, рассмотрение выборки на кольце вместо
интервала. При этом могут возникать краевые искажения результатов вейвлетной
фильтрации, аналогичные краевым искажениям из-за циклического эффекта дискретного
преобразования Фурье [17]. После первого шага (1.9) он повторяется еще
()gk
()hk
()zt
(1m )
−
раз
(напомним что ):
2
m
N =
(1) () (1) () (1)
( 2 ) , ( 2 ) , 1,..., 2
jtjt
tt
cgtjaahtjajN
ββββ
++
=−⋅ =−⋅ =⋅
∑∑
β
−+
(1.10)
Таким образом, согласно формуле (1.10), на каждом новом уровне детальности вейвлет-
разложения происходит однотипное расщепление аппроксимирующего сигнала
()
j
a
β
предыдущего уровня детальности на его высокочастотную составляющую и на «еще
более сглаженный» сигнал . Число отсчетов в детальном сигнале (то есть число
вейвлет-коэффициентов) и в сглаженном (аппроксимирующем) сигнале всякий раз
уменьшается в 2 раза при увеличении номера уровня детальности на единицу. Коэффициент
в формуле (1.6) является аппроксимирующим «сигналом», соответствующим самому
глубокому сглаживанию на последнем уровне детальности . Коэффициенты и
линейных фильтров (имеющих название «сопряженных зеркальных фильтров») связаны друг
(1)
j
c
β
+
(1)
j
a
β
+
()
1
m
a
m
()gk ()hk
                                                               27
линейной фильтрации дискретного сигнала. На первом шаге происходит разделение
дискретного сигнала на 2 части: вейвлет-коэффициенты 1-го уровня детальности c (1)
                                                                               j   (или

«детальный сигнал» 1-го уровня) и т.н. аппроксимирующий (сглаженный) сигнал a (1)
                                                                              j   1-го

уровня по формуле:


               j = ∑ g (t − 2 j ) ⋅ a t ,
             c (1)                          j = ∑ h(t − 2 j ) ⋅ a t ,   t ≡ z (t ),                      j = 1,..., N / 2
                                     (0)
                                          a (1)                  (0)
                                                                      a (0)                                                  (1.9)
                      t                                    t




   Коэффициенты линейного фильтра g ( k ) в формуле (1.9) обладают свойством выделения
высоких частот, а коэффициенты h(k ) – свойством сглаживания. Отметим, что формулы
(1.9) включают в себя не только линейную фильтрацию, но и прореживание в 2 раза –
поэтому детальный и аппроксимирующий сигналы содержат в 2 раза меньше отсчетов, чем
исходный. Из-за конечной длины выборки при применении формул (1.9) возникают
технические сложности в начале и в конце выборки. Существуют различные приемы
преодоления этих трудностей, например, рассмотрение выборки z (t ) на кольце вместо
интервала. При этом могут возникать краевые искажения результатов вейвлетной
фильтрации, аналогичные краевым искажениям из-за циклического эффекта дискретного
преобразования Фурье [17]. После первого шага (1.9) он повторяется еще ( m − 1) раз

(напомним что N = 2m ):


              c ( βj +1) = ∑ g (t − 2 j ) ⋅ at( β ) , a ( βj +1) = ∑ h(t − 2 j ) ⋅ at( β ) ,   j = 1,..., N ⋅ 2− ( β +1)    (1.10)
                          t                                         t




   Таким образом, согласно формуле (1.10), на каждом новом уровне детальности вейвлет-
разложения происходит однотипное расщепление аппроксимирующего сигнала                                                        a (jβ )

предыдущего уровня детальности на его высокочастотную составляющую c ( βj +1) и на «еще

более сглаженный» сигнал a ( βj +1) . Число отсчетов в детальном сигнале (то есть число

вейвлет-коэффициентов) и в сглаженном (аппроксимирующем) сигнале всякий раз
уменьшается в 2 раза при увеличении номера уровня детальности на единицу. Коэффициент
a (1m ) в формуле (1.6) является аппроксимирующим «сигналом», соответствующим самому

глубокому сглаживанию на последнем уровне детальности m . Коэффициенты g ( k ) и h(k )
линейных фильтров (имеющих название «сопряженных зеркальных фильтров») связаны друг

Страницы