Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
100
()
()()
()
()
()()
()
22
112 212
10 1 2 20 1 2
12 12
,0.2 ,0.1
,,,,
,,
ll ll
xll xll
ll ll
ββ
⋅⋅
=− =−
ΞΞ
()
()()
()
()
()()
()
22
312 412
30 1 2 40 1 2
12 12
, 0.2 , 0.1
,,,
,,
ll ll
xll xll
ll ll
ββ
⋅⋅
=− =−
ΞΞ
. (7)
Выпишем задачу математического программирования (6)
() ( ) ( )
()
0
00
12 12 12
15 4 , ,, max, 1
T
t
llllllld l
εττ
=
−− + −Ξ − Ε → =
∫
,
где
()
() ()
()
() ()
()
22
00 0 0 0 0
1 2 13 1 23 2 14 1 24 2
,, 1, 1, 1, 1,tl l x t l x t l x t l x t lΕ= + + + .
Решением этой задачи будет
(
)
00 0
12
0.781, 0.625, 4.287ll l
ε
=− =− = .
Подставляя вектор
0
l в (7), находим оптимальное начальное положение фазо-
вого вектора
00 0 0
1234
0.101, 0.202, 0.057, 0.123xxxx====. (8)
Оптимальная программная стратегия задается формулой
()
(
)
(
)
()
() ()
()
00
13 1 23 2
00
12
0
00
14 1 24 2
00
12
1, 1,
,,
1, 1,
,,
x
tl x tl
tl l
Ut
x
tl x tl
tl l
⎛⎞
+
−
⎜⎟
Ε
⎜⎟
=
⎜⎟
+
⎜⎟
−
⎜⎟
Ε
⎝⎠
. (9)
Оптимальный закон движения объекта определяется путем интегрирования
основной системы дифференциальных уравнений с начальными условиями (8), в
которую подставлено оптимальное программное управление (9). Ниже на рис.
16 приводятся графики изменения первых двух координат фазового вектора
от времени 
2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
              НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
                                         β1 ( l1 , l2 ) ⋅ ( 0.2 )                               β 2 ( l1 , l2 ) ⋅ ( 0.1)
                                                                    2                                                      2

                   x10 ( l1 , l2 ) = −                                  , x20 ( l1 , l2 ) = −                                  ,
                                                 Ξ ( l1 , l2 )                                         Ξ ( l1 , l2 )

                                           β 3 ( l1 , l2 ) ⋅ ( 0.2 )                                β 4 ( l1 , l2 ) ⋅ ( 0.1)
                                                                        2                                                      2

                     x30 ( l1 , l2 ) = −                                    , x40 ( l1 , l2 ) = −                                  .   (7)
                                                   Ξ ( l1 , l2 )                                          Ξ ( l1 , l2 )

      Выпишем задачу математического программирования (6)
                                                                             T
                ε ( l ) = −1 − ( 5l1 + 4l2 ) − Ξ ( l1 , l2 ) − ∫ Ε (τ , l10 , l20 ) dτ → max, l = 1 ,
                                                                             t0


где

               Ε ( t , l10 , l20 ) =   ( x (1, t ) l       + x23 (1, t ) l20 ) + ( x14 (1, t ) l10 + x24 (1, t ) l20 ) .
                                                       0                          2                                                2
                                          13           1


      Решением этой задачи будет
                                       l10 = −0.781, l20 = −0.625, ε ( l 0 ) = 4.287 .

Подставляя вектор l 0 в (7), находим оптимальное начальное положение фазо-
вого вектора
                                   x10 = 0.101, x20 = 0.202, x30 = 0.057, x40 = 0.123 .                                                (8)
Оптимальная программная стратегия задается формулой
                                                          ⎛ x13 (1, t ) l10 + x23 (1, t ) l20 ⎞
                                                          ⎜−                                       ⎟
                                                          ⎜          Ε ( t , l10 , l20 )           ⎟
                                               U 0 (t ) = ⎜                                      0 ⎟
                                                                                                     .                                 (9)
                                                          ⎜− x14 (1, t ) l1
                                                                           0
                                                                               +  x 24 (1, t ) l 2 ⎟
                                                          ⎜
                                                          ⎝          Ε   ( 1 2)
                                                                           t , l 0 0
                                                                                  , l              ⎟
                                                                                                   ⎠

Оптимальный закон движения объекта определяется путем интегрирования
основной системы дифференциальных уравнений с начальными условиями (8), в
которую подставлено оптимальное программное управление (9). Ниже на рис.
16 приводятся графики изменения первых двух координат фазового вектора
от времени




                                                                        100

Страницы