Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 98 стр.

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
              НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
будет строгим. По аналогии с пунктом 2.4 с учетом условия (5) вычисляем

                                                   (                          )           ⎡
            ε 0 = I ⎡⎣ x00 ,U 0 ( ⋅) ⎤⎦ = ρ { x 0 (T )}k , M = max ⎢ − max m, l + { x 0 (T )}k , l ⎥ =
                                                                l =1
                                                                                          ⎣       m∈M
                                                                                                                                 ⎤
                                                                                                                                 ⎦

            ⎡           ⎧⎪                T                             T                    ⎫⎪    ⎤
    = max − max m, l + ⎨ X [T , t0 ] x0 + ∫ X [T ,τ ]B (τ ) U (τ ) dτ + ∫ X [t ,τ ]C (τ ) dτ ⎬ , l ⎥ ≥
            ⎢                         0                      0
       l =1 ⎢                                                                                      ⎥
            ⎣
              m∈M      ⎪⎩                 t0                            t0                    ⎪⎭k  ⎦
                                                                                    T
              ≥ − max m, l 0 + x00 , X Тр [T , t0 ] l 0∗ + ∫ B (τ ) U 0 (τ ) , X Тр [T ,τ ] l 0∗ dτ +
                      m∈M
                                                                                    t0

                  T
                + ∫ C (τ ) , X Тр [t ,τ ] l 0∗ dτ > − max m, l 0 + min x0 , X Тр [T , t0 ] l 0∗ +
                                                                             m∈M              x0 ∈S0
                 t0

                       T                                                             T
                      + ∫ min B (τ ) u , X             Тр
                                                            [T ,τ ] l   0∗
                                                                             dτ +    ∫ C (τ ) ,   X Тр [t ,τ ] l 0∗ dτ = ε 0 .
                            u∈P
                       t0                                                            t0


Получили противоречие. Теорема доказана.
      Последовательность действий по решению задачи управления динамиче-
ской системой на основе теоремы 7 в целом аналогична той, что была описана
в пункте 2.4. Отличие состоит лишь в том, что задача математического про-
граммирования (4.7) здесь принимает вид
                                                                 ⎛l ⎞                                                        ⎛l ⎞
                                                                 ⎜ ⎟   T                                                     ⎜ ⎟
                                                                   0                                                           0
     ε ( l ) = − χ ( M , l ) + min              X [T , t0 ] x0 , ⎜ ⎟ + ∫ min                  X [T ,τ ] B (τ ) Uˆ (τ , l ) , ⎜ ⎟ dτ +
                                  x0 ∈S0                         ⎜ ⎟   t0
                                                                          u∈P                                                ⎜ ⎟
                                                                 ⎜⎜ ⎟⎟                                                       ⎜⎜ ⎟⎟
                                                                  ⎝0⎠                                                         ⎝0⎠

                                                                    ⎛l ⎞
                                           T                        ⎜ ⎟
                                                                       0
                                      +∫         X [t ,τ ] C (τ ) , ⎜ ⎟ dτ → max , l = 1 .                                              (6)
                                           t0
                                                                    ⎜ ⎟
                                                                    ⎜⎜ 0 ⎟⎟
                                                                     ⎝ ⎠

      Эта задача всегда имеет решение, а в случае когда ε 0 = ε ( l 0 ) > 0 , это реше-

ние единственное. Другое отличие касается начальных условий для фазового
вектора: их следует выбирать из соотношения (3). Также как и в пункте 2.4,
достаточным условием оптимальности найденного управления будет являться
совпадения величины ε 0 и значения функционала на этом управлении.
      Пример 11*. Рассматривается следующая управляемая система:



                                                                              98