Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
97
()
()
{}
00
,,0,1
max max , min ,
k
qtSTlS mM
ml q l
∈Γ∈∈
⎡
⎤
=− +
⎢
⎥
⎣
⎦
. (1)
По аналогии с пунктом 2.4. можно показать, что максимум в (1) достигается на
единственном векторе
()
0
0,1lS∈
и получить другую форму записи равенства (1)
[]
()
[]
00
0
0
00
1
max max , min , , min , ,
T
Тр
Тр
xS uP
lmM
t
ml x X T t l B u X T l d
ε
τττ
∗∗
∈∈
=∈
⎡
=− + + +
⎢
⎢
⎣
∫
()
[]
0
,,
T
Тр
t
CXTld
τ
ττ
∗
⎤
+
⎥
⎥
⎦
∫
. (2)
Здесь обозначено
0
0
n
l
lR
∗
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=∈
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
.
Теорема 7. Пусть
0
0
ε
> и пара
(
)
(
)
00
0
,xU
⋅
,
0
00
x
S
∈
,
()
[
0
0
,UtT⋅∈Π является
решением задачи оптимального управления. Тогда
[
[
00
00 0
00 00
,, min,,
Тр Тр
xS
x
XTtl xXTtl
∗
∗
∈
= , (3)
() ()
[
(
)
[
00 0
,, min , ,
Тр Тр
uP
B
tU t X Ttl Btu X Ttl
∗
∗
∈
= (4)
при почти всех
[
0
,ttT∈ , где
0
0
0
0
n
l
lR
∗
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=∈
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
.
Доказательство. Из равенства (2) при
0
ll
∗
∗
=
выводим
[]
()()
[]
00
0
00 0 0
00
max , min , , min , ,
T
Тр Тр
xS uP
mM
t
ml x X T t l B u X T l d
ε
ττ τ τ
∗∗
∈∈
∈
=− + + +
∫
()
[]
0
0
,,
T
Тр
t
CXtld
τ
ττ
∗
+
∫
.
Пусть нарушается какое-либо из условий (3) - (4). Тогда одно из нера-
венств (или оба сразу)
[
[
00
00 0
00 00
,, min,,,
Тр Тр
xS
xX Ttl xX Ttl
∗∗
∈
≥
() ()
[]
()()
[]
0 0
00 0
,, min ,,
TT
Тр Тр
uP
tt
B
U XTld Bu XTld
τ
τττ ττττ
∗∗
∈
≥
∫∫
. (5) 
 2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
               НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
                                                   ⎡                                 ⎤
                                      = max ⎢ − max m, l + min                  q, l ⎥ .                                           (1)
                                                          q∈{Γ ( t0 , S0 ,T )}k
                                        l∈S ( 0,1)
                                                   ⎣ m∈M                             ⎦

По аналогии с пунктом 2.4. можно показать, что максимум в (1) достигается на
единственном векторе l 0 ∈ S ( 0,1) и получить другую форму записи равенства (1)

                   ⎡                                     T
         ε = max ⎢ − max m, l + min x0 , X [T , t0 ] l + ∫ min B (τ ) u, X Тр [T ,τ ] l ∗ dτ +
              0                                     Тр ∗

              l =1              x0 ∈S0                      u∈P
                   ⎢⎣ m∈M                                t0


                                                         T                           ⎤
                                                    + ∫ C (τ ) , X Тр [T ,τ ] l ∗ dτ ⎥ .                                           (2)
                                                      t0                             ⎥⎦

                     ⎛l ⎞
                     ⎜ ⎟
                       0
Здесь обозначено l = ⎜ ⎟ ∈ R n .
                  ∗
                     ⎜ ⎟
                     ⎜⎜ ⎟⎟
                      ⎝0⎠

       Теорема 7. Пусть ε 0 > 0 и пара ( x00 ,U 0 ( ⋅) ) , x00 ∈ S0 , U 0 ( ⋅) ∈ Π [t0 , T ] является

решением задачи оптимального управления. Тогда
                                        x00 , X Тр [T , t0 ] l 0∗ = min x0 , X Тр [T , t0 ] l 0∗ ,                                 (3)
                                                                                 x0 ∈S0


                          B ( t ) U 0 ( t ) , X Тр [T , t ] l 0∗ = min B ( t ) u , X Тр [T , t ] l 0∗                              (4)
                                                                                  u∈P


                                       ⎛ l0 ⎞
                                       ⎜ ⎟
                                         0
при почти всех t ∈ [t0 , T ] , где l = ⎜ ⎟ ∈ R n .
                                    0∗
                                       ⎜ ⎟
                                       ⎜⎜ ⎟⎟
                                        ⎝0⎠

       Доказательство. Из равенства (2) при l ∗ = l 0∗ выводим
                                                                                     T
        ε = − max m, l + min x0 , X
          0
                  m∈M
                           0
                                    x0 ∈S0
                                                         Тр
                                                              [T , t0 ] l   0∗
                                                                                  + ∫ min B (τ ) u (τ ) , X Тр [T ,τ ] l 0∗ dτ +
                                                                                          u∈P
                                                                                     t0

                                                    T
                                                  + ∫ C (τ ) , X Тр [t ,τ ] l 0∗ dτ .
                                                    t0


       Пусть нарушается какое-либо из условий (3) - (4). Тогда одно из нера-
венств (или оба сразу)
                                   x00 , X Тр [T , t0 ] l 0∗ ≥ min x0 , X Тр [T , t0 ] l 0∗ ,
                                                                      x0 ∈S0

                  T                                                          T

                  ∫ B (τ )U (τ ) ,
                               0
                                         X   Тр
                                                  [T ,τ ] l   0∗
                                                                   dτ ≥ ∫ min B (τ ) u (τ ) , X Тр [T ,τ ] l 0∗ dτ .
                                                                                   u∈P
                                                                                                                                   (5)
                  t0                                                         t0




                                                                        97

Страницы