Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
96
начальная точка
0
3
2
1
x
−
⎛⎞
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
из примера 3 принадлежит множеству
0
S данного
примера.
2.6. Минимизация расстояния до целевого множества в случае под-
вижного левого конца траектории. Рассмотрим частный случай задачи 2, ис-
следованной в пункте 2.5. Именно, будем предполагать, что функция
Φ
, опре-
деляющая критерий качества, имеет смысл евклидового расстояния от проек-
ции фазового вектора на часть своих (
k первых
(
)
kn
≤
) координат до некоторо-
го выпуклого компактного множества
k
M
R⊂ . Относительно множества
0
n
SR∈
дополнительно предположим, что оно выпукло.
Пусть
(
)
(
)
00
00 00
,, ,,
xS
tST GtxT
∈
Γ=
∪
.
Из непрерывной зависимости области достижимости от начального положения
00
x
S∈ (см. формулу Коши) компактности и выпуклости множества
0
S следует,
что множество
()
00
,,
n
tST RΓ⊂ также является компактным и выпуклым.
Предположим, что выполняется
(
)
{
}
00
,,
k
tST M
Γ
=∅∩ . Полагаем
()
{
}
{
}
0
00
min 0 , ,
k
tST M
ε
εε
=>Γ ≠∅∩ .
Из компактности множества
(
)
00
,,tSTΓ следует существование минимума в пра-
вой части последнего равенства и справедливость соотношения
(
)
00
0IU
ε
⎡⎤
=
⋅>
⎣⎦
.
Вычислим величину
0
. По теореме 1.30 [22] условие
()
{
}
00
,,
k
tST M
ε
Γ≠∅∩ будет иметь место тогда и только тогда, когда
()
{}
()
{}
00
,,
min , ( , ), 0, 1 1
k
k
qtST
lq M l l S s R s
ε
χ
∈Γ
≤∀∈= ∈ = .
Отсюда следует, что
()
{}
()
00
0
,,
min 0 min , ( , ) 0, 1
k
qtST
lq M l l S
ε
εε χ
∈Γ
⎧⎫
=
>≤∀∈=
⎨⎬
⎩⎭
 2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
               НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
                      ⎛ −3 ⎞
начальная точка x0 = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ из примера 3 принадлежит множеству S0 данного
                      ⎜1⎟
                      ⎝ ⎠

примера.
         2.6. Минимизация расстояния до целевого множества в случае под-
вижного левого конца траектории. Рассмотрим частный случай задачи 2, ис-
следованной в пункте 2.5. Именно, будем предполагать, что функция Φ , опре-
деляющая критерий качества, имеет смысл евклидового расстояния от проек-
ции фазового вектора на часть своих ( k первых ( k ≤ n ) ) координат до некоторо-

го выпуклого компактного множества M ⊂ R k . Относительно множества S0 ∈ R n
дополнительно предположим, что оно выпукло.
         Пусть
                                                  Γ ( t0 , S 0 , T ) =       ∪ G (t , x ,T ) .
                                                                                      0   0
                                                                             x0 ∈S0


Из непрерывной зависимости области достижимости от начального положения
x0 ∈ S0 (см. формулу Коши) компактности и выпуклости множества S0 следует,

что множество Γ ( t0 , S0 , T ) ⊂ R n также является компактным и выпуклым.

         Предположим, что выполняется {Γ ( t0 , S0 , T )}k ∩ M = ∅ . Полагаем

                                                       {
                                         ε 0 = min ε > 0 {Γ ( t0 , S0 , T )}k ∩ M ε ≠ ∅ .            }
Из компактности множества Γ ( t0 , S0 , T ) следует существование минимума в пра-

вой части последнего равенства и справедливость соотношения
                                                             ε 0 = I ⎡⎣U 0 ( ⋅) ⎤⎦ > 0 .

         Вычислим                величину                     ε0.            По       теореме            1.30         [22]   условие
{Γ ( t , S , T )}
     0   0      k
                    ∩ M ε ≠ ∅ будет иметь место тогда и только тогда, когда

                            min              l , q ≤ χ( M ε , l ), ∀ l ∈ S (0, 1) = {s ∈ R k s = 1} .
                       q∈{Γ(t0 , S0 ,T )}k


         Отсюда следует, что
                                         ⎧                                                                      ⎫
                       ε 0 = min ⎨ε > 0                  min               l , q ≤ χ ( M ε , l ) ∀l ∈ S ( 0, 1) ⎬ =
                                                   q∈{Γ ( t0 , S0 ,T )}k
                                         ⎩                                                                      ⎭



                                                                             96

Страницы