Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 95 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
95
()
)
[]
(
0
1
ˆ
1, 0, ,
ˆ
,
1, 1 ,
ˆ
1, , 1 .
tt
произвольное число
Ut tt
из
tt
⎧
⎡
∈
⎣
⎪
⎪
==
⎨
−
⎪
⎪
⎤
−∈
⎦
⎩
,
(
)()
[
]
00
23
1, 0,1Ut Ut t≡≡∈
,
где
ˆ
0.741061
t = .
Подставим ее в исходную систему дифференциальных уравнений
(
)
()
()
0
112 31
0
21232
0
31233
2230 ,
10 35 ,
2,
x
xx xUt
x
xx xUt
xxxxUt
=+− +
=−−+
=−++
(18)
В соответствии с теоремой 6 выпишем граничные условия на левом
конце траектории. С учетом равенств
()
()
312
1123
,, 1,
963
xxx
xxx
ϕ
=
++−
−
,
(
)
(
)
(
)
2 123 1 3 123 2 4 123 3
,, , ,, , ,,
x
xx x xxx x xxx x
ϕϕ ϕ
==−=−,
имеем
()
(
) ()
111
12 1 13 2 14 3
963
0, 0, 0
µµψ µµψ µµψ
−+= −= −=
,
()
312
1213243
10,0,0,0
963
xxx
xx x
µµµµ
⎡⎤
++−====
⎢⎥
−
⎣⎦
,
1234
0, 0, 0, 0
µ
µµµ
≥≥≥≥. (19)
Условия (19) однозначно определяют следующий набор параметров:
000
1 2 3 4 10 20 30
2050.13, 346.69, 468.885, 0, 0, 0, 3.0xxx
µµµµ
=======
.
Проинтегрируем систему(18) с полученными начальными условиями
()
0
10
0
20
0
30
0
00
3
x
xx
x
⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
==
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
и вычислим значение функционала на оптимальном управлении. Имеем
(
)
0
2344.02IU
⎡⎤
⋅=−
⎣⎦
.
В примере 3 значение функционала на оптимальном управлении было «хуже» и
равнялось величине
366.188− . Такой результат является ожидаемым, так как 
 2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
               НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
                     ⎧             1,     t ∈ ⎡⎣ 0, tˆ ) ,
                     ⎪
                     ⎪ произвольное число
         U10 ( t ) = ⎨                       t = tˆ, ,                           U 20 ( t ) ≡ U 30 ( t ) ≡ 1, t ∈ [ 0,1] ,
                     ⎪из [ −1, 1] ,
                     ⎪            −1,      t ∈ ( tˆ, 1⎤⎦ .
                     ⎩

где tˆ = 0.741061 .
       Подставим ее в исходную систему дифференциальных уравнений
                                              x1 = 2 x1 + 2 x2 − 30 x3 + U10 ( t ) ,
                                              x2 = 10 x1 − x2 − 35 x3 + U 20 ( t ) ,                                         (18)
                                              x3 = 2 x1 − x2 + x3 + U 30 ( t ) ,

       В соответствии с теоремой 6 выпишем граничные условия на левом
конце траектории. С учетом равенств
                                                                  x1   x x
                                        ϕ1 ( x1 , x2 , x3 ) =         + 3 + 2 − 1, ,
                                                                ( −9 ) 6 3
                      ϕ2 ( x1 , x2 , x3 ) = x1 , ϕ3 ( x1 , x2 , x3 ) = − x2 , ϕ 4 ( x1 , x2 , x3 ) = − x3 ,

имеем
                       − 19 µ1 + µ2 = ψ 1 ( 0 ) ,    1
                                                     6   µ1 − µ3 = ψ 2 ( 0 ) ,     1
                                                                                   3   µ1 − µ4 = ψ 3 ( 0 ) ,

                          ⎡ x1     x x       ⎤
                       µ1 ⎢       + 3 + 2 − 1⎥ = 0, µ2 x1 = 0, µ3 x2 = 0, µ4 x3 = 0 ,
                          ⎣ ( −9 ) 6 3 ⎦

                                              µ1 ≥ 0, µ2 ≥ 0, µ3 ≥ 0, µ4 ≥ 0 .                                               (19)
       Условия (19) однозначно определяют следующий набор параметров:
             µ1 = 2050.13, µ2 = 346.69, µ3 = 468.885, µ4 = 0, x100 = 0, x20
                                                                         0
                                                                            = 0, x30
                                                                                  0
                                                                                     = 3.0 .

       Проинтегрируем систему(18) с полученными начальными условиями
                                                              ⎛ x100 ⎞ ⎛ 0 ⎞
                                                              ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟
                                                    x ( 0 ) = ⎜ x20  ⎟ = ⎜ 0⎟
                                                              ⎜ x30 ⎟ ⎜ 3 ⎟
                                                                 0
                                                              ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

и вычислим значение функционала на оптимальном управлении. Имеем
                                                 I ⎡⎣U 0 ( ⋅) ⎤⎦ = −2344.02 .

В примере 3 значение функционала на оптимальном управлении было «хуже» и
равнялось величине −366.188 . Такой результат является ожидаемым, так как



                                                                95

Страницы