Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
93
310 4 20
,cx cx==,
12
0, 0
µ
µ
>>,
12
132 4
22 22
12 12
6,4
cc
ccc c
cc cc
ππ
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
−= + − = +
⎜⎟⎜⎟
++
⎝⎠⎝⎠
.
Эта система имеет два решения.
Первое решение
77
12341 2
11.150, 0, 5, 0, 8.79 10 , 8.79 10cccc
µµ
−
−
= = =− = =− ⋅ =− ⋅ ,
10 20
5, 0xx
=
−=.
Второе решение
12 3 4 1 2
1.093, 3.589, 1.098, 3.902, 3.043 0, 0.545,cc c c
µ
µ
==−=−= =−<=
10 20
1.098, 3.902xx
=
−=.
Оба решения не удовлетворяют предположениям четвертого случая.
Таким образом, задача оптимального управления имеет единственное
решение, которое было получено в третьем случае.
Пример 10*. Рассмотрим линейный управляемый динамический объект
112 31
21232
31233
2230 ,
10 35 ,
2,
x
xx xu
x
xx xu
xxxxu
=
+− +
=−−+
=−++
1
3
2
3
1, 1, 2, 3
i
u
uP u u R u i
u
⎧⎫
⎛⎞
⎪⎪
⎜⎟
∈= = ∈ ≤ =
⎨⎬
⎜⎟
⎪⎪
⎜⎟
⎝⎠
⎩⎭
,
[
0,1t ∈
()
1
3
312
00 2 1 2 3
3
1, 0, 0, 0 ;
963
x
xxx
xS x R x x x
x
⎧⎫
⎛⎞
⎪⎪
⎜⎟
∈= ∈ + + ≤ ≤−≤−≤
⎨⎬
⎜⎟
−
⎪⎪
⎜⎟
⎝⎠
⎩⎭
()
(
)
(
)
(
)
123
121 1 minIU x x x⋅= + − →⎡⎤
⎣⎦
.
Условия рассматриваемого примера совпадают с условиями примера 3
за исключением граничных условий на левом конце траектории. В данном при-
мере множество
0
S содержит более одной точки. Множество
0
S показано на
рис. 16. 
2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
              НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
                                                               ⎛   π c1       ⎞            ⎛ πc           ⎞
    c3 = x10 , c4 = x20 ,      µ1 > 0, µ2 > 0 , −c1 = 6 ⎜                + c3 ⎟ , − c2 = 4 ⎜     2
                                                                                                     + c4 ⎟ .
                                                               ⎜ c2 + c2      ⎟            ⎜ c2 + c2      ⎟
                                                               ⎝ 1     2      ⎠            ⎝ 1     2      ⎠

      Эта система имеет два решения.
      Первое решение
           c1 = 11.150, c2 = 0, c3 = −5, c4 = 0, µ1 = −8.79 ⋅10−7 , µ2 = −8.79 ⋅10−7 ,

                                                 x10 = −5, x20 = 0 .

      Второе решение
            c1 = 1.093, c2 = −3.589, c3 = −1.098, c4 = 3.902, µ1 = −3.043 < 0, µ2 = 0.545,

                                            x10 = −1.098, x20 = 3.902 .

Оба решения не удовлетворяют предположениям четвертого случая.
      Таким образом, задача оптимального управления имеет единственное
решение, которое было получено в третьем случае.
      Пример 10*. Рассмотрим линейный управляемый динамический объект
                                            x1 = 2 x1 + 2 x2 − 30 x3 + u1 ,
                                            x2 = 10 x1 − x2 − 35 x3 + u2 ,
                                            x3 = 2 x1 − x2 + x3 + u3 ,

                                    ⎧    ⎛ u1 ⎞                       ⎫
                                    ⎪    ⎜ ⎟                          ⎪
                            u ∈ P = ⎨u = ⎜ u2 ⎟ ∈ R ui ≤ 1, i = 1, 2,3⎬ , t ∈ [ 0,1]
                                                   3

                                    ⎪    ⎜u ⎟                         ⎪
                                    ⎩    ⎝ 3⎠                         ⎭

                            ⎧⎛ x1 ⎞                                                    ⎫
                            ⎪⎜ ⎟               x1   x2 x3                              ⎪
                  x0 ∈ S0 = ⎨⎜ x2 ⎟ ∈ R 3          + + ≤ 1, x1 ≤ 0, − x2 ≤ 0, − x3 ≤ 0 ⎬ ;
                            ⎪⎜ x ⎟           ( −9 ) 6 3                                ⎪
                            ⎩⎝ 3 ⎠                                                     ⎭

                                  I ⎡⎣U ( ⋅) ⎤⎦ = x1 (1) + 2 x2 (1) − x3 (1) → min .

      Условия рассматриваемого примера совпадают с условиями примера 3
за исключением граничных условий на левом конце траектории. В данном при-
мере множество S0 содержит более одной точки. Множество S0 показано на
рис. 16.




                                                          93

Страницы