Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
92
Случай 3). Граничные условия принимают вид
12
c
µ
= ,
22
c
µ
=− ,
2
10 20
4
25 0
5
xx
−
⋅−+≤
,
10 20
50xx−+=, (16)
310 4 20
,cx cx==,
2
0
µ
> ,
12
132 4
22 22
12 12
6,4
cc
ccc c
cc cc
ππ
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
−= + − = +
⎜⎟⎜⎟
++
⎝⎠⎝⎠
. (17)
Решением системы (16), (17) будут числа
12 3 4 2 10 20
1.337, 1.337, 2.444, 2.556, 1.337 0, 2.444, 2.556cc c c x x
µ
==−=−= =>=− =.
Подставляя их в (7), определяем оптимальную программную стратегию и оп-
тимальную траекторию объекта. Ниже на рис. 15 приводится вид этой тра-
ектории.
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5
x
1
2.6
2.7
2.8
2.9
x
2
Рис. 15
Оптимальное значение функционала равно
() ( )
(
)
()
(
)
22
00 0
12
3 2 0.372IU x x
ππ
⎡⎤
⋅= + =
⎣⎦
.
В примере 4 значение функционала на оптимальном управлении было
«хуже» и равнялось величине
0.562 . Такой результат является ожидаемым,
так как начальная точка
0
3
2
x
−
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
из примера 4 принадлежит множеству
0
S
данного примера.
Случай 4). Граничные условия принимают вид
10
11 2
2
10
4
525
x
c
x
µ
µ
=+
−
,
212
c
=
− ,
2
10 20
4
25 0
5
xx
−
⋅−+=
,
10 20
50xx−+=, 
2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
              НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
     Случай 3). Граничные условия принимают вид
                                                        4
                      c1 = µ2 ,         c2 = − µ2 ,    − ⋅ 25 − x102 + x20 ≤ 0 ,          x10 − x20 + 5 = 0 ,       (16)
                                                        5
                                                              ⎛ πc           ⎞            ⎛ πc           ⎞
     c3 = x10 , c4 = x20 ,              µ2 > 0 ,      −c1 = 6 ⎜     1
                                                                        + c3 ⎟ , − c2 = 4 ⎜     2
                                                                                                    + c4 ⎟ . (17)
                                                              ⎜ c2 + c2      ⎟            ⎜ c2 + c2      ⎟
                                                              ⎝ 1     2      ⎠            ⎝ 1     2      ⎠

     Решением системы (16), (17) будут числа
    c1 = 1.337, c2 = −1.337, c3 = −2.444, c4 = 2.556, µ2 = 1.337 > 0, x10 = −2.444, x20 = 2.556 .

Подставляя их в (7), определяем оптимальную программную стратегию и оп-
тимальную траекторию объекта. Ниже на рис. 15 приводится вид этой тра-
ектории.
                                                                           x2
                                                                         2.9

                                                                         2.8

                                                                         2.7

                                                                         2.6

                                                                                               x1
                   -2.5          -2        -1.5         -1        -0.5                 0.5

                                                        Рис. 15
     Оптимальное значение функционала равно
                                I ⎡⎣U 0 ( ⋅) ⎤⎦ = 3 ( x10 (π ) ) + 2 ( x20 (π ) ) = 0.372 .
                                                             2                 2




     В примере 4 значение функционала на оптимальном управлении было
«хуже» и равнялось величине 0.562 . Такой результат является ожидаемым,
                                               ⎛ −3 ⎞
так как начальная точка x0 = ⎜                      ⎟ из примера 4 принадлежит множеству S0
                                               ⎝2⎠

данного примера.
     Случай 4). Граничные условия принимают вид
                  4 x10                                   4
      c1 = µ1                  + µ2 ,     c2 = µ1 − µ2 , − ⋅ 25 − x102 + x20 = 0 ,            x10 − x20 + 5 = 0 ,
                5 25 − x  2
                          10
                                                          5




                                                             92

Страницы