Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
90
() ()
02
112212
4
025 5
5
xx xx
xx
ψ
µµ
∂∂
⎛⎞
=−⋅−++ −+=
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
1
1
12
2
2
12
1
1
12
4
4
1
525
525
1
1
x
x
x
x
µ
µ
µµ
µµ
⎛⎞
⎛⎞
+
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=+=
−
−
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠
⎝⎠
,
()
2
11221212
4
25 0, 5 0, 0, 0
5
xx xx
µµµµ
⎛⎞
−
⋅−+= −+= ≥ ≥
⎜⎟
⎝⎠
.
Общее решение системы дифференциальных уравнений (7) имеет вид
(
)
112 1 2
,, cos sintc c c t c t
ψ
=+,
(
)
212 2 1
,, cos sintc c c t c t
ψ
=−,
()
12
1 1234 3 4
22 22
12 12
cos sin
,,,, cos sin
tc t tc t
x
tc c c c c t c t
cc cc
=+++
++
,
()
21
21234 4 3
22 22
12 12
cos sin
,,,, cos sin
tc t tc t
x
tc c c c c t c t
cc cc
=+−−
++
. (9)
Выпишем граничные условия с учетом равенств (9).
На левом конце
10
11 2
2
10
4
525
x
c
x
µ
µ
=+
−
,
212
c
=
−
,
2
11020
4
25 0
5
xx
µ
⎛⎞
−⋅ − + =
⎜⎟
⎝⎠
,
(
)
210 20
50xx
µ
−
+=,
310 4 20
,cx cx==,
12
0, 0
µ
µ
≥≥. (10)
На правом конце
12
1324
22 22
12 12
6,4
cc
ccc c
cc cc
ππ
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
−= + − = +
⎜⎟⎜⎟
++
⎝⎠⎝⎠
. (11)
В результате получилась система из восьми уравнений относительно
восьми
1 2 3 4 1 2 10 20
,,,, , , ,cccc x x
µ
µ
неизвестных. Последовательно рассмотрим четы-
ре случая: 1)
12
0, 0
µµ
==
, : 2)
12
0, 0
µµ
>=
, : 1)
12
0, 0
µµ
=
>
, : 1)
12
0, 0
µµ
>>
.
Случай 1. Из первых двух равенств в (10) вытекает, что
12
0cc==⇒
(
)
0
0,t
ψ
≡
[
]
0,t
π
∈ . 
 2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
               НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
                                         ∂ ⎛ 4                 ⎞     ∂
                      ψ 0 ( 0 ) = µ1        ⎜ − ⋅ 25 − x1 + x2 ⎟ + µ2 ( x1 − x2 + 5 ) =
                                                        2

                                         ∂x ⎝ 5                ⎠     ∂x

                               ⎛   4 x1                ⎞              ⎛    4 x1        ⎞
                               ⎜                       ⎟      ⎛ 1 ⎞ ⎜ µ1          + µ2 ⎟
                          = µ1 ⎜ 5 25 − x12            ⎟ + µ2 ⎜ −1⎟ = ⎜ 5 25 − x1
                                                                                2
                                                                                       ⎟,
                               ⎜                       ⎟      ⎝ ⎠ ⎜                    ⎟
                               ⎝    1                  ⎠              ⎝   µ1 − µ2      ⎠

                     ⎛ 4                           ⎞
                  µ1 ⎜ − ⋅ 25 − x12 + x2 ⎟ = 0, µ2 ( x1 − x2 + 5 ) = 0, µ1 ≥ 0, µ2 ≥ 0 .
                     ⎝ 5                           ⎠

       Общее решение системы дифференциальных уравнений (7) имеет вид
                                            ψ 1 ( t , c1 , c2 ) = c1 cos t + c2 sin t ,

                                           ψ 2 ( t , c1 , c2 ) = c2 cos t − c1 sin t ,

                                                       tc1 cos t                           tc2 sin t
                      x1 ( t , c1 , c2 , c3 , c4 ) =                       + c3 cos t +                 + c4 sin t ,
                                                          c +c
                                                          2
                                                          1
                                                                       2
                                                                       2                    c12 + c22

                                                          tc2 cos t                            tc1 sin t
                         x2 ( t , c1 , c2 , c3 , c4 ) =                         + c4 cos t −                − c3 sin t .    (9)
                                                              c +c
                                                               2
                                                               1
                                                                           2
                                                                           2                    c12 + c22

Выпишем граничные условия с учетом равенств (9).
       На левом конце
                                                       4 x10
                                     c1 = µ1                               + µ2 ,    c2 = µ1 − µ2 ,
                                                 5 25 − x102

                             ⎛ 4                                   ⎞
                         µ1 ⎜ − ⋅ 25 − x102 + x20 ⎟ = 0 ,                            µ2 ( x10 − x20 + 5 ) = 0 ,
                             ⎝ 5                                   ⎠

                                     c3 = x10 , c4 = x20 ,                       µ1 ≥ 0, µ2 ≥ 0 .                          (10)
       На правом конце
                                       ⎛ πc           ⎞            ⎛ πc           ⎞
                               −c1 = 6 ⎜     1
                                                 + c3 ⎟ , − c2 = 4 ⎜     2
                                                                             + c4 ⎟ .                                      (11)
                                       ⎜ c2 + c2      ⎟            ⎜ c2 + c2      ⎟
                                       ⎝ 1     2      ⎠            ⎝ 1     2      ⎠

       В результате получилась система из восьми уравнений относительно
восьми c1 , c2 , c3 , c4 , µ1 , µ2 , x10 , x20 неизвестных. Последовательно рассмотрим четы-
ре случая: 1) µ1 = 0, µ2 = 0 , : 2) µ1 > 0, µ2 = 0 , : 1) µ1 = 0, µ2 > 0 , : 1) µ1 > 0, µ2 > 0 .
       Случай 1. Из первых двух равенств в (10) вытекает, что
                                       c1 = c2 = 0 ⇒ ψ 0 ( t ) ≡ 0, t ∈ [ 0, π ] .




                                                                           90

Страницы