Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
88
()
(
)
0
0
0
0
1
m
i
i
i
x
t
x
ϕ
ψ
µ
=
∂
=
∂
∑
.
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 6. Пусть пара
(
)
(
)
(
)
[
]
00 0 0
000 0
,, , ,
x
UxSU tT⋅∈⋅∈Π доставляет ре-
шение задачи 2. Тогда необходимо
()
(
)
(
)
(
)
(
)
00 0
,max,
uP
B
tU t t Btu t
ψψ
∈
=
при почти всех
[
]
0
,ttT∈
. В случае, когда для множества
0
S выполнены условия
регулярности, существует набор чисел
1
0, , 0
m
µ
≥≥ таких, что
()
(
)
()
0
0
00
00
1
,0,1,,
m
i
iii
i
x
txim
x
ϕ
ψ
µµϕ
=
∂
===
∂
∑
.
Пример 9*. Рассмотрим линейный управляемый динамический объект
[
]
1212 12
,,0,;xxux xu t
π
=+ =−+ ∈

11
22 2
12
22
,1,
uu
uuPu Ruu
uu
⎧
⎫
⎛⎞ ⎛⎞
=∈==∈+≤
⎨
⎬
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎩⎭
1
22
01212
2
4
25 0, 5 0
5
x
SR xxxx
x
⎧⎫
⎛⎞
⎪⎪
=∈−⋅−+≤−+≤
⎨⎬
⎜⎟
⎝⎠
⎪⎪
⎩⎭
(
)
(
)
(
)
22
12
32 minIU x x
ππ
⋅= + →⎡⎤
⎣⎦
.
Условия рассматриваемого примера совпадают с условиями примера 2
за исключением граничных условий на левом конце траектории. В данном при-
мере множество
0
S содержит более одной точки. Множество
0
S показано на
рис. 14. 
2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
              НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
                                                               m       ∂ϕi ( x00 )
                                             ψ   0
                                                     ( t0 ) = ∑ µ i                  .
                                                               i =1         ∂x

Таким образом, доказана следующая теорема.
      Теорема 6. Пусть пара ( x00 ,U 0 ( ⋅) ) , x00 ∈ S0 , U 0 ( ⋅) ∈ Π [t0 , T ] доставляет ре-

шение задачи 2. Тогда необходимо
                                B ( t ) U 0 ( t ) , ψ 0 ( t ) = max B ( t ) u, ψ 0 ( t )
                                                                      u∈P


при почти всех t ∈ [t0 , T ] . В случае, когда для множества S0 выполнены условия

регулярности, существует набор чисел µ1 ≥ 0, , µm ≥ 0 таких, что
                                       m         ∂ϕi ( x00 )
                      ψ   0
                              ( t0 ) = ∑ µ i                   , µiϕi ( x00 ) = 0, i = 1,   ,m .
                                      i =1            ∂x

      Пример 9*. Рассмотрим линейный управляемый динамический объект
                                   x1 = x2 + u1 , x2 = − x1 + u2 , t ∈ [ 0, π ] ;

                           ⎛u ⎞            ⎧    ⎛u ⎞                     ⎫
                       u = ⎜ 1 ⎟ , u ∈ P = ⎨u = ⎜ 1 ⎟ ∈ R 2 u12 + u22 ≤ 1⎬ ,
                           ⎝ u2 ⎠          ⎩    ⎝ u2 ⎠                   ⎭

                          ⎧⎪⎛ x ⎞       4                                     ⎫⎪
                     S0 = ⎨⎜ 1 ⎟ ∈ R 2 − ⋅ 25 − x12 + x2 ≤ 0, x1 − x2 + 5 ≤ 0 ⎬
                           ⎪⎩⎝ x2 ⎠     5                                      ⎪⎭

                                   I ⎡⎣U ( ⋅) ⎤⎦ = 3x12 (π ) + 2 x22 (π ) → min .

      Условия рассматриваемого примера совпадают с условиями примера 2
за исключением граничных условий на левом конце траектории. В данном при-
мере множество S0 содержит более одной точки. Множество S0 показано на
рис. 14.




                                                                 88

Страницы