Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
86
множество
()
00
,,
n
tST RΓ⊂ также является компактным, поэтому решение задачи
2 существует.
Пусть пара
()
(
)
(
)
[
]
00 0 0
000 0
,, , ,
x
UxSU tT⋅∈⋅∈Π доставляет решение задачи 2.
Очевидно, что программная стратегия
(
)
[
]
0
0
,UtT⋅∈Π будет оптимальной для за-
дачи 1, если принять
{
}
0
00
Sx= , а остальные условия задачи 1 считать совпа-
дающими с соответствующими условиями задачи 2. Тогда по теореме 4 долж-
но выполняться
()
(
)
(
)
(
)
(
)
00 0
,max,
uP
B
tU t t Btu t
ψψ
∈
= (1)
для почти всех
[
]
0
,ttT∈ , где
() ()
()
00
TxT
x
ψ
∂
Φ
=−
∂
,
(
)()
(
)
000
00
,, ,xxtxU
=⋅ ⋅. (2)
Условия (1) и (2) не позволяют однозначно определить программную
стратегию управления, претендующую на решение задачи 2, поскольку они со-
держат
n неизвестных параметров, образующих вектор начальных условий
0
00
x
S∈ . Для их определения выведем так называемые условия трансверсально-
сти на левом конце траектории.
Пусть
()
{
}
0
0, 1, ,
n
i
SxR x i m
ϕ
=∈ ≤ = ,
где
1
:,1,,
n
i
R
Ri m
ϕ
→= -заданные непрерывно дифференцируемые по совокуп-
ности аргументов функции. Дополнительно предположим, что для множества
0
S выполнено следующее условие регулярности: для всех
0
x
S∈ набор векторов
()
() { } ()
{}
0
,1,,0
i
i
x
iIx i m x
x
ϕ
ϕ
∂
∈
=∈ =
∂
является линейно независимым.
Оптимальное начальное положение фазового вектора
0
0
x
удовлетворяет
равенству
()
()
[] []
() ()
[]
()
00
000
00
,, ,
TT
tt
x T XTt x XT B U d XT C d
ττ ττ τττ
⎛⎞
Φ=Φ + + =
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
 2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
               НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
множество Γ ( t0 , S0 , T ) ⊂ R n также является компактным, поэтому решение задачи

2 существует.
       Пусть пара ( x00 ,U 0 ( ⋅) ) , x00 ∈ S0 , U 0 ( ⋅) ∈ Π [t0 , T ] доставляет решение задачи 2.

Очевидно, что программная стратегия U 0 ( ⋅) ∈ Π [t0 , T ] будет оптимальной для за-

дачи 1, если принять S0 = { x00 } , а остальные условия задачи 1 считать совпа-

дающими с соответствующими условиями задачи 2. Тогда по теореме 4 долж-
но выполняться
                                  B ( t ) U 0 ( t ) , ψ 0 ( t ) = max B ( t ) u, ψ 0 ( t )              (1)
                                                                 u∈P


для почти всех t ∈ [t0 , T ] , где
                                             ∂Φ 0
                              ψ 0 (T ) = −
                                             ∂x
                                                ( x (T ) ) , x0 (⋅) = x (⋅, t0 , x00 ,U 0 (⋅) ) .       (2)

       Условия (1) и (2) не позволяют однозначно определить программную
стратегию управления, претендующую на решение задачи 2, поскольку они со-
держат n неизвестных параметров, образующих вектор начальных условий
x00 ∈ S0 . Для их определения выведем так называемые условия трансверсально-

сти на левом конце траектории.
       Пусть

                                         {
                                   S0 = x ∈ R n ϕi ( x ) ≤ 0, i = 1,             }
                                                                              ,m ,

где ϕi : R n → R1 , i = 1, , m -заданные непрерывно дифференцируемые по совокуп-
ности аргументов функции. Дополнительно предположим, что для множества
S0 выполнено следующее условие регулярности: для всех x ∈ S0 набор векторов

                              ∂ϕi ( x )
                                ∂x
                                                        {
                                        , i ∈ I 0 ( x ) = i ∈ {1,                      }
                                                                       , m} ϕi ( x ) = 0

является линейно независимым.
       Оптимальное начальное положение фазового вектора x00 удовлетворяет
равенству
                            ⎛                  T                             T                    ⎞
           Φ ( x (T ) ) = Φ ⎜ X [T , t0 ] x0 + ∫ X [T ,τ ]B (τ ) U (τ ) dτ + ∫ X [T ,τ ]C (τ ) dτ ⎟ =
                0                          0                      0
                            ⎜                                                                     ⎟
                            ⎝                  t0                            t0                   ⎠


                                                         86

Страницы