Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
85
Найденное расстояние меньше того, что было получено в примере 7. Этот
результат ожидаемый, так как область изменения вектора управляющих па-
раметров в рассматриваемом примере шире, чем в примере 7.
Для сравнения вычислим финальное расстояние от проекции фазового
вектора на первые две координаты до терминального множества для случая,
когда в качестве допустимого программного
управления взята вектор- функ-
ция
()
()
()
()
[
)
[]
()
[
)
[]
1
12
2
1, 0, 0.1 1, 0, 0.9
,,
1 0.1, 1 1 0.9,1
ut
tt
ut u t u t
ut t t
⎧⎧
⎛⎞ −∈ ∈
⎪⎪
== =
⎜⎟
⎨⎨
∈−∈
⎪⎪
⎝⎠
⎩⎩

.
Пусть
() ()
()
00
,, ,xxtxU⋅= ⋅ ⋅

. Тогда
()
()
()
1
2
1
0.499
, 4.60949
1
0.652
x
IU
x
⎛⎞
⎛⎞
⎡⎤
=⋅=
⎜⎟
⎜⎟
⎣⎦
⎝⎠
⎝⎠
.
Таким образом,
()
(
)
0
4.60949 4.282Iu IU
⎡
⎤
⋅= > = ⋅
⎡⎤
⎣⎦
⎣
⎦
.
2.5. Случай подвижного левого и свободного правого конца траекто-
рии. Будем предполагать, что в постановке задачи 1 множество
0
n
SR⊂
содер-
жит более одной точки и является компактным множеством в
n
R
. Сформулиру-
ем получившуюся задачу.
Задача 2. Найти допустимую программную стратегию
()
[
]
0
0
,UtT⋅∈Π ,
доставляющую минимум функционалу
(
)
(
)
(
)
(
)
11
,
I
UxTCR⋅=Φ Φ∈⎡⎤
⎣⎦
при ограничениях
()
(
)
(
)
,,
nr
x
At x Btu Ct x R u P R=++ ∈∈⊂
,
{
}
{
}
001 00 1
,, ,
nn
tTxSRSR
θθ
==∈⊂=.
Обозначим
(
)
(
)
00
00 00
,, ,,
xS
tST GtxT
∈
Γ=
∪
.
Из непрерывной зависимости области достижимости от начального по-
ложения
00
x
S∈ (см. формулу Коши) и компактности множества
0
S следует, что 
2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
              НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
Найденное расстояние меньше того, что было получено в примере 7. Этот
результат ожидаемый, так как область изменения вектора управляющих па-
раметров в рассматриваемом примере шире, чем в примере 7.
      Для сравнения вычислим финальное расстояние от проекции фазового
вектора на первые две координаты до терминального множества для случая,
когда в качестве допустимого программного управления взята вектор- функ-
ция
                         ⎛ u (t ) ⎞         ⎧⎪−1, t ∈ [ 0, 0.1)              ⎪⎧ 1, t ∈ [ 0, 0.9 )
               u ( t ) = ⎜ 1 ⎟ , u1 ( t ) = ⎨                   , u2 ( t ) = ⎨                    .
                         ⎝ u2 ( t ) ⎠        ⎩⎪ 1 t ∈ [ 0.1, 1]               ⎩⎪−1 t ∈ [ 0.9, 1]

      Пусть x ( ⋅) = x ( ⋅, t0 , x0 ,U ( ⋅) ) . Тогда

                                ⎛ x1 (1) ⎞ ⎛ 0.499 ⎞
                                ⎜        ⎟=⎜       ⎟ , I ⎣⎡U ( ⋅) ⎦⎤ = 4.60949 .
                                  x  (1
                                ⎝ 2 ⎠ ⎝)     0.652 ⎠

      Таким образом, I ⎡⎣u ( ⋅) ⎤⎦ = 4.60949 > 4.282 = I ⎡⎣U 0 ( ⋅) ⎤⎦ .

      2.5. Случай подвижного левого и свободного правого конца траекто-
рии. Будем предполагать, что в постановке задачи 1 множество S0 ⊂ R n содер-
жит более одной точки и является компактным множеством в R n . Сформулиру-
ем получившуюся задачу.
      Задача 2. Найти допустимую программную стратегию U 0 ( ⋅) ∈ Π [t0 , T ] ,

доставляющую минимум функционалу
                                     I ⎡⎣U ( ⋅) ⎤⎦ = Φ ( x (T ) ) , Φ ∈ C1 ( R1 )

при ограничениях
                            x = A (t ) x + B (t ) u + C (t ) , x ∈ Rn , u ∈ P ⊂ Rr ,

                                θ 0 = {t0 } , θ1 = {T } , x0 ∈ S0 ⊂ R n , S1 = R n .

      Обозначим
                                       Γ ( t0 , S 0 , T ) =   ∪ G (t , x ,T ) .
                                                                       0   0
                                                              x0 ∈S0


      Из непрерывной зависимости области достижимости от начального по-
ложения x0 ∈ S0 (см. формулу Коши) и компактности множества S0 следует, что



                                                              85

Страницы