Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
83
Здесь
()
() () () ()
22
00 0 0 0 0
1 1 2 13 1 23 2 14 1 24 2
, , 1, 1, 0.5 1, 1, 0.5tl l x tl x tl x tl x tl
⎡⎤⎡⎤
Ε= + −+ + +
⎣⎦⎣⎦
.
Пусть
() ()
()
00
,, ,xxtxu⋅= ⋅ ⋅

. Тогда
()
()
()
1
2
1
0.703
, 4.74077
1
0.193
x
Iu
x
⎛⎞
⎛⎞
=⋅=
⎡⎤
⎜⎟
⎜⎟
⎣⎦
⎝⎠
⎝⎠
Таким образом,
()
(
)
0
4.74077 4.596Iu IU
⎡
⎤
⋅= > = ⋅⎡⎤
⎣⎦
⎣
⎦
.
Пример 8*.
В условиях предыдущего примера принимается, что
1
2
12
2
1, 1
u
PRuu
u
⎧
⎫
⎛⎞
⎪
⎪
=
∈≤≤
⎨
⎬
⎜⎟
⎝⎠
⎪
⎪
⎩⎭
.
Тогда
()
( ) () () () ()
1
0
1 2 13 1 23 2 14 1 24 2
0,1
0
1 max 5 4 1, 1, 1, 1, .
lS
ll x lx lx lx ld
ε
ττ τττ
∈
⎡
⎤
=− + − + − + + +
⎢
⎥
⎣
⎦
∫
Вектор- функция
ˆ
U
определяется формулой
()
() ()
() ()
13 1 23 2
12
14 1 24 2
1, 1,
ˆ
,,
1, 1,
sign x l x l
Utll
sign x l x l
ττ
ττ
⎛⎞
−+
⎡
⎤
⎣
⎦
⎜⎟
=
⎜⎟
−+
⎡
⎤
⎣
⎦
⎝⎠
, (14)
а задача математического программирования (8) здесь принимает вид
() ( ) ( ) ( ) () ()
1
12 13 123 214 124 2
0
15 4 1, 1, 1, 1, max, 1l l l x lx l x lx ld l
ετττττ
⎡⎤
=− − + − + + + → =
⎣⎦
∫
.
Приведем ее решение
()
00
0.791
, 4.282
0.612
ll
ε
−
⎛⎞
==
⎜⎟
−
⎝⎠
.
Подставляя
0
l
в (12), находим управление
()
() ()
() ()
[]
00
13 1 23 2
0
00
14 1 24 2
1, 1,
1
,0,1
1
1, 1,
sign x l x l
Ut t
sign x l x l
ττ
ττ
⎛⎞
⎡⎤
−+
⎛⎞
⎣⎦
⎜⎟
==∈
⎜⎟
⎜⎟
⎡⎤
−+
⎝⎠
⎣⎦
⎝⎠
. (15)
Из графиков компонент вектора управления (15), представленных на
рис. 12 
2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
              НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
       Здесь

           Ε1 ( t , l10 , l20 ) = ⎡⎣ x13 (1, t ) l10 + x23 (1, t ) l20 − 0.5⎤⎦ + ⎡⎣ x14 (1, t ) l10 + x24 (1, t ) l20 + 0.5⎤⎦ .
                                                                             2                                             2




       Пусть x ( ⋅) = x ( ⋅, t0 , x0 , u ( ⋅) ) . Тогда

                                        ⎛ x1 (1) ⎞ ⎛ 0.703 ⎞
                                        ⎜        ⎟=⎜       ⎟ , I ⎣⎡u ( ⋅) ⎦⎤ = 4.74077
                                        ⎝ x2 (1) ⎠ ⎝ 0.193 ⎠

       Таким образом,
                                         I ⎡⎣u ( ⋅) ⎤⎦ = 4.74077 > 4.596 = I ⎡⎣U 0 ( ⋅) ⎤⎦ .

       Пример 8*. В условиях предыдущего примера принимается, что
                                                  ⎪⎧⎛ u ⎞                     ⎫⎪
                                              P = ⎨⎜ 1 ⎟ ∈ R 2 u1 ≤ 1, u2 ≤ 1⎬ .
                                                   ⎪⎩⎝ u2 ⎠                  ⎭⎪

       Тогда
                             ⎡                       1
                                                                                                                                  ⎤
        ε 0 = −1 + max ⎢ − ( 5l1 + 4l2 ) − ∫ x13 (1,τ ) l1 + x23 (1,τ ) l2 + x14 (1,τ ) l1 + x24 (1,τ ) l2 dτ ⎥ .
                   l∈S ( 0,1)
                             ⎣                       0                                                                            ⎦
Вектор- функция Û определяется формулой
                                                           ⎛ − sign ⎡⎣ x13 (1,τ ) l1 + x23 (1,τ ) l2 ⎤⎦ ⎞
                                      Uˆ ( t , l1 , l2 ) = ⎜                                            ⎟,                                (14)
                                                           ⎜ − sign ⎡ x14 (1,τ ) l1 + x24 (1,τ ) l2 ⎤ ⎟
                                                           ⎝        ⎣                                 ⎦⎠

а задача математического программирования (8) здесь принимает вид
                                  1
  ε ( l ) = −1 − ( 5l1 + 4l2 ) − ∫ ⎡⎣ x13 (1,τ ) l1 + x23 (1,τ ) l2 + x14 (1,τ ) l1 + x24 (1,τ ) l2 ⎤⎦dτ → max,                       l = 1.
                                  0


Приведем ее решение
                                                   ⎛ −0.791 ⎞
                                              l0 = ⎜        ⎟ , ε ( l ) = 4.282 .
                                                                     0

                                                   ⎝ −0.612 ⎠

Подставляя l 0 в (12), находим управление
                                    ⎛ − sign ⎡ x13 (1,τ ) l10 + x23 (1,τ ) l20 ⎤ ⎞ ⎛ 1⎞
                                             ⎣                                 ⎦⎟
                           U (t ) = ⎜
                              0
                                                                                  = ⎜ ⎟ , t ∈ [ 0,1] .                                    (15)
                                    ⎜ − sign ⎡ x14 (1,τ ) l1 + x24 (1,τ ) l2 ⎤ ⎟ ⎝ 1⎠
                                                            0                0
                                    ⎝        ⎣                                 ⎦⎠

       Из графиков компонент вектора управления (15), представленных на
рис. 12




                                                                    83

Страницы