Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
87
[] []
() ()
[]
()
00
00
0
00
min , , ,
TT
xS
tt
X
Tt x XT B U d XT C d
τ
τττ τττ
∈
⎛⎞
=Φ + +
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
.
По теореме Кароша – Джона [22] существует вектор
0
1
0
m
µ
µ
µ
⎧⎫
⎪⎪
⎪⎪
≠
⎨⎬
⎪⎪
⎪⎪
⎩⎭
, для которого
справедливы соотношения
[] []
() ()
[]
()
00
00
00
0
0
,, ,
TT
tt
XTt x XT B U d XT C d
x
ττ ττ τττ
µ
⎛⎞
∂Φ + +
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
+
∂
∫∫
(
)
0
0
1
0
0
m
i
i
i
x
x
ϕ
µ
=
∂
+
=
∂
∑
; (3)
(
)
0
0
0, 0, 1, ,
ii i
x
im
µϕ µ
=≥= ; (4)
{
}
0
0,1
µ
∈ . (5)
Заметим, что в силу регулярности множества
0
S , в условии (5) можно сразу за-
писать
0
1
µ
= . Действительно, пусть
0
0
µ
. Тогда из условий (3) и (4) следует,
что
(
)
(
)
()
00
0
00
00
1
00
00
m
ii
ii
i
iI x
xx
xx
ϕϕ
µµ
=
∈
∂∂
=
⇒=
∂∂
∑∑
, (6)
причем среди чисел
()
0
,
i
iIx
µ
∈ есть числа, отличные от нуля. Равенство (6) про-
тиворечит линейной независимости набора векторов
(
)
()
0
0
00
0
,
i
x
iIx
x
ϕ
∂
∈
∂
. Остается
признать, что
0
1
µ
= .
Вычисляем
[] []
() ()
[]
()
0
00
00
0
00
0
,, ,
TT
tt
xx
XTt x XT B U d XT C d
x
ττ ττ τττ
=
⎛⎞
∂Φ
++=
⎜⎟
⎜⎟
∂
⎝⎠
∫∫
[]
()
()
()
00
00
,
Tp
X
Tt x T t
x
ψ
∂
Φ
==−
∂
.
Теперь условие (3) можно переписать в виде 
2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
              НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
                       ⎛                 T                               T                    ⎞
              = min Φ ⎜ X [T , t0 ] x0 + ∫ X [T ,τ ]B (τ ) U 0 (τ ) dτ + ∫ X [T ,τ ]C (τ ) dτ ⎟ .
                x0 ∈S0 ⎜                                                                      ⎟
                       ⎝                 t0                              t0                   ⎠

                                                  ⎧ µ0 ⎫
                                                  ⎪µ ⎪
По теореме Кароша – Джона [22] существует вектор ⎪⎨ 1 ⎪⎬ ≠ 0 , для которого
                                                  ⎪ ⎪
                                                  ⎪⎩ µm ⎪⎭

справедливы соотношения
                    ⎛                   T                               T                    ⎞
                 ∂Φ ⎜ X [T , t0 ] x00 + ∫ X [T ,τ ]B (τ ) U 0 (τ ) dτ + ∫ X [T ,τ ]C (τ ) dτ ⎟
                    ⎜                                                                        ⎟
              µ0    ⎝                   t0                              t0                   ⎠+
                                                      ∂x0

                                                            m        ∂ϕi ( x00 )
                                                       + ∑ µi                       = 0;                                             (3)
                                                         i =1           ∂x0

                                     µiϕi ( x00 ) = 0, µi ≥ 0, i = 1,                        ,m ;                                    (4)

                                                        µ0 ∈ {0,1} .                                                                 (5)

Заметим, что в силу регулярности множества S0 , в условии (5) можно сразу за-
писать µ0 = 1 . Действительно, пусть µ0 = 0 . Тогда из условий (3) и (4) следует,
что
                                   m          ∂ϕi ( x00 )                                ∂ϕi ( x00 )
                                  ∑µ      i
                                                 ∂x0
                                                            =0⇒           ∑         µi
                                                                                            ∂x0
                                                                                                       =0,                           (6)
                                   i =1                                      ( )
                                                                        i∈I 0 x00


причем среди чисел µi , i ∈ I 0 ( x ) есть числа, отличные от нуля. Равенство (6) про-

                                                                                               ∂ϕi ( x00 )
тиворечит линейной независимости набора векторов                                                             , i ∈ I 0 ( x00 ) . Остается
                                                                                                    ∂x
признать, что µ0 = 1 .
      Вычисляем

             ∂Φ ⎛                                                                       ⎞
                                     T                             T

                  ⎜ X [T , t0 ] x0 + ∫ X [T ,τ ]B (τ ) U (τ ) dτ + ∫ X [T ,τ ]C (τ ) dτ ⎟
                                                        0
                                                                                                                           =
             ∂x0 ⎜⎝                  t0                            t0
                                                                                        ⎟
                                                                                        ⎠                       x0 = x00


                                                       ∂Φ 0
                                 = X Tp [T , t0 ]
                                                       ∂x
                                                          ( x (T ) ) = −ψ 0 ( t0 ) .

Теперь условие (3) можно переписать в виде



                                                                87

Страницы