Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
91
Из граничных условий (8) следуют равенства
(
)
(
)
12
0xx
ππ
=
= . Покажем, что
()
0
0
0, ,
0
S
π
⎛⎞
∉Γ
⎜⎟
⎝⎠
. Для этого достаточно установить справедливость неравенст-
ва
()
()
()
[] []
00 0 0
0
,,
0,1 0,1
0
max min , max min , 0 , min , , 0
qGt x T x S uP
lS lS
ql X x l X uld
π
ππττ
∈∈∈
∈∈
⎡⎤
⎡⎤
=
+>
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦
∫
. (12)
Последовательно вычисляем
[]
()
(
)
() ()
[]
0110220
cos sin
,,,0,
sin cos
tt
X
tXxllxlx
tt
ττ
τπ
ττ
−−
⎛⎞
==−−
⎜⎟
−− −
⎝⎠
,
[
]
(
)
(
)
22 1 11 2
, , cos sin cos sinXulul l ul l
π
τττττ
=− + +− − ,
[]
()()
22
22
21 12 12
min , , cos sin cos sin 1
uP
Xul l l l l ll
πτ τ τ τ τ
∈
=− − + + − − =− + =− .
В результате неравенство (12) принимает вид
()
22
00
12
110 2 20
1
max min
xS
ll
lx l x
∈
+=
⎡⎤
−
−>
⎢⎥
⎣⎦
. (13)
Минимум линейной формы, стоящей в левой части неравенства (13), может
достигаться лишь в тех начальных позициях, которые лежат на дуге эллипса.
Тогда левая часть неравенства (13) вычисляется по формуле
[]
[]
(
)
[]
[]
(
)
{
}
10 10
1 1
22
44
110 2 10 110 2 10
55
5, 1.09756 5, 1.09756
1,1 1,1
max max min 25 , max min 25
xx
ll
lx l x lx l x
∈− − ∈− −
∈− ∈−
−− − −+ − =
3.527
π
=
> ,
и неравенство (13) имеет место. Таким образом, случай 1 не дает решения за-
дачи оптимального управления.
Случай 2). Граничные условия принимают вид
10
11
2
10
4
525
x
c
x
µ
=
−
,
21
c
µ
=
,
2
10 20
4
25 0
5
xx
−
⋅−+=
,
10 20
50xx−+≤, (14)
310 4 20
,cx cx==,
1
0
µ
>
,
12
132 4
22 22
12 12
6,4
cc
ccc c
cc cc
ππ
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
−= + − = +
⎜⎟⎜⎟
++
⎝⎠⎝⎠
. (15)
Эти условия противоречивы, так как в силу второго равенства в (14)
выполняется
2
0c > . Тогда из второго и четвертого равенств в (15) следует,
что
20
0x < и
00
x
S∉ . 
 2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
               НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
Из граничных условий (8) следуют равенства x1 (π ) = x2 (π ) = 0 . Покажем, что

⎛0⎞
⎜ ⎟ ∉ Γ ( 0, S0 , π ) . Для этого достаточно установить справедливость неравенст-
⎝0⎠

ва
                                                                       π
                           ⎡                     ⎤           ⎡                                  ⎤
                 max           min q, l = max ⎢ min X [π , 0] x0 , l + ∫ min X [π ,τ ] u , l dτ ⎥ > 0 . (12)
                l∈S ( 0,1) ⎢
                           ⎣ q∈G ( t0 , x0 ,T ) ⎥⎦ l∈S ( 0,1) x0∈S0      u∈P
                                                             ⎣         0                        ⎦

       Последовательно вычисляем
                                 ⎛ cos ( t − τ ) sin ( t − τ ) ⎞
                    X [ t ,τ ] = ⎜                               ⎟,                        X [π , 0] x0 , l = −l1 x10 − l2 x20 ,
                                 ⎝ − sin ( t − τ ) cos ( t − τ ) ⎠

                            X [π ,τ ] u, l = u2 ( −l2 cosτ + l1 sin τ ) + u1 ( −l1 cos τ − l2 sin τ ) ,

        min X [π ,τ ] u , l = −                     ( −l2 cosτ + l1 sin τ ) + ( −l1 cosτ − l2 sin τ )
                                                                                 2                                         2
                                                                                                                               = − l12 + l22 = −1 .
         u∈P


       В результате неравенство (12) принимает вид

                                                         max ⎡ min ( −l1 x10 − l2 x20 ) ⎤ > π .                                                              (13)
                                                             ⎢⎣ x0 ∈S0
                                                         l12 + l22 =1                   ⎥⎦

Минимум линейной формы, стоящей в левой части неравенства (13), может
достигаться лишь в тех начальных позициях, которые лежат на дуге эллипса.
Тогда левая часть неравенства (13) вычисляется по формуле

         {
     max max              min
          l1∈[ −1,1] x10 ∈[ −5, −1.09756]
                                            ( −l x
                                               1 10   − 54 l2 25 − x102 ,    )        max             min
                                                                                      l1∈[ −1,1] x10 ∈[ −5, −1.09756]
                                                                                                                        ( −l x
                                                                                                                           1 10   + 54 l2 25 − x102   )} =
                                                                        = 3.527 > π ,

и неравенство (13) имеет место. Таким образом, случай 1 не дает решения за-
дачи оптимального управления.
       Случай 2). Граничные условия принимают вид
                                    4 x10                                   4
                c1 = µ1                              , c2 = µ1 ,           − ⋅ 25 − x102 + x20 = 0 ,                             x10 − x20 + 5 ≤ 0 ,         (14)
                              5 25 − x         2
                                               10
                                                                            5

                                                                                  ⎛       π c1   ⎞            ⎛ πc           ⎞
             c3 = x10 , c4 = x20 ,                    µ1 > 0 , −c1 = 6 ⎜                    + c3 ⎟ , − c2 = 4 ⎜     2
                                                                                                                        + c4 ⎟ . (15)
                                                                                  ⎜ c2 + c2      ⎟            ⎜ c2 + c2      ⎟
                                                                                  ⎝ 1     2      ⎠            ⎝ 1     2      ⎠

       Эти условия противоречивы, так как в силу второго равенства в (14)
выполняется c2 > 0 . Тогда из второго и четвертого равенств в (15) следует,
что x20 < 0 и x0 ∉ S0 .

                                                                             91

Страницы