Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
99
13
24
,
,
x
x
x
x
=
=
(
)
()
3341
23 42
cos ,
1
sin ,
1
xtxtxu
x
xtxu
t
=++
=+ +
+
[]
1
22 2
12
2
1, 0,1
u
uP Ru u t
u
⎧⎫
⎛⎞
⎪⎪
∈= ∈ + ≤ ∈
⎨⎬
⎜⎟
⎝⎠
⎪⎪
⎩⎭
,
()( )
22
1
2
12
2
2, 5 4 1
m
kM Rm m
m
⎧
⎫
⎛⎞
⎪
⎪
== ∈ −+−≤
⎨
⎬
⎜⎟
⎝⎠
⎪
⎪
⎩⎭
,
() ()
()
() ()
()
1
2222
2
1234
4
00
22
22
3
4
1,
0.2 0.1
0.1 0.2
x
x
xx xx
xS R
x
x
⎧⎫
⎛⎞
⎪⎪
⎜⎟
⎪⎪
⎜⎟
∈= ∈ + + + ≤
⎨⎬
⎜⎟
⎪⎪
⎜⎟
⎜⎟
⎪⎪
⎝⎠
⎩⎭
.
Фундаментальная матрица Коши для однородной системы дифференци-
альных уравнений, опорная функция множества
M
и функция
ˆ
U
здесь совпа-
дают с теми, что были построены в примере 7. Вычисляем
()
[]
00 00
10
1
20
2
0
0
30
40
min , min 1, 0 ,
0
0
xS xS
x
l
x
l
xT X
x
x
ψ
∗
∈∈
⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
=
=
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
[
]
]
]
]
()
00
111 1012 2013 3014 40
min 1, 0 1, 0 1, 0 1, 0
xS
lx x x x x x x x
∈
⎡
=++++
⎣
[
]
]
]
]
()
221 1022 2023 3024 40
1,0 1,0 1,0 1,0lx x x x x x x x
⎤
++++=
⎦
[
]
]
()
]
[
]
(
)
00
10 1 11 2 21 20 1 12 2 22
min 1,0 1,0 1,0 1,0
xS
xlx lx xlx lx
∈
⎡
=++++
⎣
[] []
()
[] []
()
()
00
4
30 1 13 2 23 40 1 14 2 24 1 2 0
1
1, 0 1, 0 1, 0 1, 0 min ,
ii
xS
i
x
lx lx x lx lx l l x
β
∈
=
⎤
+++ += =
⎦
∑
()()()()()()()() ()
222 2
222 2
1 12 2 12 3 12 4 12 12
0.2 , 0.1 , 0.1 , 0.2 , ,ll ll ll ll ll
ββββ
=− + + + =−Ξ
,
где обозначено
()
]
]
12 11 22
,1,01,0,1,2,3,4
iii
ll lx lx i
β
=+ =.
При этом 
2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
              НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
                                                              x1 = x3 ,
                                                              x2 = x4 ,

                                                x3 = ( cos t ) x3 + tx4 + u1 ,
                                                         1
                                                x2 =        x3 + ( sin t ) x4 + u2 ,
                                                       t +1
                                               ⎧⎪⎛ u ⎞                   ⎫⎪
                                       u ∈ P = ⎨⎜ 1 ⎟ ∈ R 2 u12 + u22 ≤ 1⎬ , t ∈ [ 0,1] ,
                                                ⎪⎩⎝ u2 ⎠                  ⎪⎭

                                             ⎧⎪⎛ m ⎞                                  ⎫⎪
                                  k = 2, M = ⎨⎜ 1 ⎟ ∈ R 2 ( m1 − 5 ) + ( m2 − 4 ) ≤ 1⎬ ,
                                                                    2            2

                                              ⎪⎩⎝ m2 ⎠                               ⎭⎪

                                  ⎧⎛ x1 ⎞                                                                        ⎫
                                  ⎪⎜ ⎟                                                                           ⎪
                                               4 ( x1 )     ( x2 )     ( x3 )     ( x4 )
                                                        2          2          2          2
                                  ⎪⎜ x2 ⎟                                                                        ⎪
                        x0 ∈ S0 = ⎨         ∈R            +          +          +          ≤ 1,                  ⎬.
                                  ⎪⎜⎜ x3 ⎟⎟       0.22 ( 0.1)2 0.12 ( 0.2 )2                                     ⎪
                                  ⎪⎜⎝ x4 ⎟⎠                                                                      ⎪
                                  ⎩                                                                              ⎭

     Фундаментальная матрица Коши для однородной системы дифференци-
альных уравнений, опорная функция множества M и функция Û здесь совпа-
дают с теми, что были построены в примере 7. Вычисляем
                                                                                 ⎛ x10 ⎞ ⎛ l1 ⎞
                                                                                 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
                                                                                    x       l
                                  min x0 , ψ 0∗ (T ) = min              X [1, 0] ⎜ 20 ⎟ , ⎜ 2 ⎟          =
                                  x0 ∈S0                      x0 ∈S0             ⎜ x30 ⎟ ⎜ 0 ⎟
                                                                                 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟
                                                                                  ⎝ x40 ⎠ ⎝ 0 ⎠

                     = min ⎡⎣l1 ( x11 [1, 0] x10 + x12 [1, 0] x20 + x13 [1, 0] x30 + x14 [1, 0] x40 ) +
                        x0 ∈S0


                        +l2 ( x21 [1, 0] x10 + x22 [1, 0] x20 + x23 [1, 0] x30 + x24 [1, 0] x40 ) ⎤⎦ =

                     = min ⎡⎣ x10 ( l1 x11 [1, 0] + l2 x21 [1, 0]) + x20 ( l1 x12 [1, 0] + l2 x22 [1, 0]) +
                         x0 ∈S0

                                                                                                             4
          + x30 ( l1 x13 [1, 0] + l2 x23 [1, 0]) + x40 ( l1 x14 [1, 0] + l2 x24 [1, 0]) ⎤⎦ = min ∑ β i ( l1 , l2 )xi 0 =
                                                                                                x0 ∈S0
                                                                                                         i =1



            ( 0.2 ) β12 ( l1 , l2 ) + ( 0.1) β 22 ( l1 , l2 ) + ( 0.1) β32 ( l1 , l2 ) + ( 0.2 ) β 42 ( l1 , l2 ) = −Ξ ( l1 , l2 ) ,
                   2                        2                         2                         2
     =−

где обозначено
                                    β i ( l1 , l2 ) = l1 x1i [1, 0] + l2 x2i [1, 0] , i = 1, 2,3, 4 .

     При этом



                                                                   99

Страницы