Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 104 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
104
Критерий качества Φ здесь имеет смысл расстояния от финального по-
ложения фазового вектора до точки
M
, положение которой задается вектором
0.25
2
M
r
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
. Тогда оптимальное управление (одно из возможных) имеет вид
()
[]
0
0.25
,0,1
1
ut t
⎛⎞
=∈
⎜⎟
⎝⎠
.
Покажем, что управление
(
)
0
u
⋅
не удовлетворяет условиям принципа мак-
симума Л.С. Понтрягина. Действительно, выпишем функцию Л.С. Понтрягина
(
)
11 2 2
,,,Htxu u u
ψψ ψ
=+.
Максимум этой функции достигается, когда
(
)
(
)
112 2
ˆˆ
,usign usign
ψψ
==.
Сопряженная система здесь записывается так:
(
)
(
)
00
12 1 12 2
0, 0 ,tc tc
ψ
ψψ ψ
==⇒ = =

.
Управления, подозрительные на оптимальность, удовлетворяют условию
(
)
(
)
11 2 2
ˆˆ
,u sign c const u sign c const== ==
.
После подстановки управлений
12
ˆˆ
,uu
в основную систему дифференци-
альных уравнений получим
(
)
(
)
112 2
,
x
sign c x sign c==

.
Интегрируя основную систему, с учетом начальных условий находим
0
M
1
x
Рис. 19 
2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
              НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
     Критерий качества Φ здесь имеет смысл расстояния от финального по-
ложения фазового вектора до точки M , положение которой задается вектором
     ⎛ 0.25 ⎞
rM = ⎜      ⎟ . Тогда оптимальное управление (одно из возможных) имеет вид
     ⎝ 2 ⎠

                                           ⎛ 0.25 ⎞
                                 u0 (t ) = ⎜      ⎟ , t ∈ [ 0,1] .
                                           ⎝ 1 ⎠




                                                          M




                                           0                            x1




                                     Рис. 19


     Покажем, что управление u 0 ( ⋅) не удовлетворяет условиям принципа мак-

симума Л.С. Понтрягина. Действительно, выпишем функцию Л.С. Понтрягина
                                H ( t , x, u ,ψ ) = ψ 1u1 + ψ 2u2 .

     Максимум этой функции достигается, когда
                              uˆ1 = sign (ψ 1 ) , uˆ2 = sign (ψ 2 ) .

     Сопряженная система здесь записывается так:
                       ψ 1 = 0, ψ 2 = 0 ⇒ ψ 10 ( t ) = c1 , ψ 20 ( t ) = c2 .

     Управления, подозрительные на оптимальность, удовлетворяют условию
                      uˆ1 = sign ( c1 ) = const , uˆ2 = sign ( c2 ) = const .

     После подстановки управлений uˆ1 , uˆ2 в основную систему дифференци-
альных уравнений получим
                               x1 = sign ( c1 ) , x2 = sign ( c2 ) .

     Интегрируя основную систему, с учетом начальных условий находим

                                               104

Страницы