Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 105 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
105
() ( ) ()
(
)
(
)
(
)() ()
00 00
11221122
,1,1
x
tsignctxtsignctx signcx signc==⇒==.
Выпишем условия трансверсальности в конечный момент времени
() ()
()
00
11x
x
ψ
∂
Φ
=
−⇒
∂
()
()
(
)
()
()
()
()
()
()
()
()
()
0
1
22
00
0
12
1
0
0
2
2
22
00
12
10.25
10.1 12
1
1
12
10.1 12
x
xx
x
xx
ψ
ψ
⎛⎞
−
⎜⎟
⎜⎟
−+ −
⎛⎞
⎜⎟
=− ⇒
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
−+ −
⎝⎠
(
)
()
()
()
()
()
()
()
()
()
1
1
22
12
2
2
22
12
0.25
,
0.1 2
2
.
0.1 2
sign c
c
sign c sign c
sign c
c
sign c sign c
−⎧
=−
⎪
⎪
−+ −
⎪
⎨
−
⎪
=−
⎪
−+ −
⎪
⎩
Пусть
00
12
,cc - решение этой системы. Очевидно, что
00
12
0, 0cc≠≠. Тогда оп-
тимальное управление должно привести управляемую точку в вершины квадра-
та. Управление
(
)
0
u
⋅
этому условию не удовлетворяет.
2. Для линейных управляемых динамических систем, описанных в уп-
ражнениях раздела 1 (дифференциальные уравнения движения, начальные ус-
ловия, отрезок времени управления), решить задачу оптимального управления
со следующими функционалами:
а)
()()()()
222
123 1 2
,, 8 5 9xxx x x xΦ = ++−+−
,
б)
()()()()
222
123 1 2
, , 65 65 10xxx x x xΦ =−+−++,
в)
()()()()
222
123 1 2
, , 40 25 12xxx x x xΦ =−++++
,
г)
()()()()
222
123 1 2
,, 5 4 5xxx x x xΦ=++++−.
Рассмотреть два случая геометрических ограничений на вектор управ-
ляющих параметров 
2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
              НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
          x10 ( t ) = sign ( c1 ) t , x20 ( t ) = sign ( c2 ) t ⇒ x10 (1) = sign ( c1 ) , x20 (1) = sign ( c2 ) .

     Выпишем условия трансверсальности в конечный момент времени
                                                            ∂Φ 0
                                            ψ 0 (1) = −
                                                            ∂x
                                                               ( x (1) ) ⇒
                                            ⎛                x10 (1) − 0.25                       ⎞
                                            ⎜                                                     ⎟
                                                  ( x (1) − 0.1) + ( x (1) − 2 )
                                                                          2               2
                             ⎛ψ 1 (1) ⎞
                                0           ⎜        0
                                                     1
                                                                              0
                                                                              2
                                                                                                  ⎟
                             ⎜⎜ 0 ⎟⎟    = − ⎜                                                     ⎟⇒
                             ⎝ψ 2 (1) ⎠     ⎜                  x20 (1) − 2                        ⎟
                                            ⎜                                                     ⎟
                                                  ( x (1) − 0.1) + ( x (1) − 2 )
                                                                          2               2
                                            ⎜        0                        0                   ⎟
                                            ⎝        1                        2
                                                                                                  ⎠



                              ⎧                          sign ( c1 ) − 0.25
                              ⎪c1 = −                                                             ,
                                           ( sign ( c ) − 0.1) + ( sign ( c ) − 2 )
                                                                  2                           2
                              ⎪⎪                     1                            2
                               ⎨
                               ⎪c = −                     sign ( c2 ) − 2
                                                                                                  .
                               ⎪ 2
                                           ( sign ( c ) − 0.1) + ( sign ( c ) − 2 )
                                                                      2                       2
                               ⎪⎩                    1                            2


     Пусть c10 , c20 - решение этой системы. Очевидно, что c10 ≠ 0, c20 ≠ 0 . Тогда оп-
тимальное управление должно привести управляемую точку в вершины квадра-
та. Управление u 0 ( ⋅) этому условию не удовлетворяет.

     2. Для линейных управляемых динамических систем, описанных в уп-
ражнениях раздела 1 (дифференциальные уравнения движения, начальные ус-
ловия, отрезок времени управления), решить задачу оптимального управления
со следующими функционалами:

                           а) Φ ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 + 8 ) + ( x2 − 5 ) + ( x − 9 ) ,
                                                                  2               2                   2




                        б) Φ ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 − 65 ) + ( x2 − 65 ) + ( x + 10 ) ,
                                                                  2                   2                   2




                        в) Φ ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 − 40 ) + ( x2 + 25 ) + ( x + 12 ) ,
                                                                  2                   2                   2




                           г) Φ ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 + 5 ) + ( x2 + 4 ) + ( x − 5 ) .
                                                                  2               2                   2




     Рассмотреть два случая геометрических ограничений на вектор управ-
ляющих параметров




                                                            105

Страницы