Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

3. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРЕДЕЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ
107
3. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРЕДЕЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ
3.1. Постановка задачи линейного предельного быстродействия и су-
ществование ее решения. Линейную задачу теории оптимального управления
назовем задачей линейного быстродействия, если:
1) минимизируемый функционал имеет форму Лагранжа с подынтеграль-
ной функцией
1
0
≡f ;
2) начальный момент времени фиксирован
{
}
00
t
=
θ
;
3) конечный момент времени не фиксирован
{
}
10
TTt
θ
∈>;
4) левый и правый конец траектории закреплены
{
}
{
}
001 0
,0,0SxS x
=
=≠,
5) область изменения управляющих параметров
r
PR⊂ выпукла.
Теорема 1 (Существование решения задачи линейного быстродействия.)
Пусть для некоторого момента времени
0
Tt
∗
> выполнено включение
(
)
00
0,,Gt x T
∗
∈ ,
где
()
00 0
,, ,Gt x T T t> - область достижимости управляемого объекта. Тогда за-
дача линейного быстродействия имеет решение.
Доказательство. По предположению теоремы
(
)
{
}
000
0,,Tt GtxTΤ= > ∈ ≠∅.
Обозначим
0
inf
T
TT
∈
Τ
= . Достаточно показать, что
(
)
0
00
0,,Gt x T∈ . (1)
Рассмотрим последовательность
{
}
0
,,1,2,
kk
TTT k→∈Τ=
Включение (1) следует из замкнутости области достижимости, непрерывной
зависимости ее от
T и включений
(
)
00
0,,,1,2,
k
Gt x T k∈=
Теорема доказана.
Момент времени
0
T будем называть оптимальным временем перехода. 
                  3. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРЕДЕЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ

    3. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРЕДЕЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ


     3.1. Постановка задачи линейного предельного быстродействия и су-
ществование ее решения. Линейную задачу теории оптимального управления
назовем задачей линейного быстродействия, если:
     1) минимизируемый функционал имеет форму Лагранжа с подынтеграль-
        ной функцией f 0 ≡ 1 ;
     2) начальный момент времени фиксирован θ 0 = {t 0 };

     3) конечный момент времени не фиксирован θ1 ∈ {T                    T > t0 } ;

     4) левый и правый конец траектории закреплены S0 = { x0 } , S1 = {0} , x0 ≠ 0 ,

     5) область изменения управляющих параметров P ⊂ R r выпукла.
     Теорема 1 (Существование решения задачи линейного быстродействия.)
     Пусть для некоторого момента времени T ∗ > t0 выполнено включение

                                       0 ∈ G ( t0 , x0 , T ∗ ) ,

где G ( t0 , x0 , T ) , T > t0 - область достижимости управляемого объекта. Тогда за-

дача линейного быстродействия имеет решение.
      Доказательство. По предположению теоремы
                             Τ = {T > t0 0 ∈ G ( t0 , x0 , T ) } ≠ ∅ .

Обозначим T 0 = inf T . Достаточно показать, что
                 T ∈Τ


                                         0 ∈ G ( t0 , x0 , T 0 ) .                     (1)

Рассмотрим последовательность
                              {Tk } → T 0 ,     Tk ∈ Τ, k = 1, 2,

Включение (1) следует из замкнутости области достижимости, непрерывной
зависимости ее от T и включений
                                 0 ∈ G ( t0 , x0 , Tk ) , k = 1, 2,

      Теорема доказана.
      Момент времени T 0 будем называть оптимальным временем перехода.


                                                 107

Страницы