Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 108 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

3. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРЕДЕЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ
108
3.2. Необходимые условия оптимальности программной стратегии.
Пусть выполнены условия теоремы 1. Полагаем
[]
()
()
00
0
,,
11
max min , max , ,
qGt x T
ll
TqlFlTTt
ε
∈
==
⎡⎤
==≥
⎢⎥
⎣⎦
, (1)
() () ( ) ()
()
()
()
{
}
00 0
0
0,1
0,1 , max , ,
lS
LT lT S FlTT FlT T t
∈
=∈ = ≥
,
где
()
[] []
()
[]
()
00
00
,,,min,, ,,
TT
uP
tt
FlT XTt x l XT B uld Xt C ld
τ
ττ τττ
∈
=+ +
∫∫
.
По лемме 2.1 функция
ε
является непрерывной. Условие
[
]
0T
ε
> будет
необходимым и достаточным для того, чтобы
(
)
00
0,,Gt x T∉
. Отсюда следует,
что оптимальное время перехода
0
T совпадает с наименьшим из корней урав-
нения
[
]
0T
ε
= , лежащим правее начального момента времени
0
t .
Теорема 2 (необходимые условия оптимальности). Пусть
0
T - оптималь-
ное время перехода и
()
0
U ⋅ - программное управление, решающее задачу линей-
ного быстродействия. Тогда
() () ()
000 00
,,min,,
Тр Тр
uP
B
tU t X T t l Btu X T t l
∈
⎡
⎤⎡⎤
=
⎣
⎦⎣⎦
, (2)
для всех
()
000
lLT∈ и при почти всех
0
0
,ttT
⎡
⎤
∈
⎣
⎦
.
Доказательство. Допустим, что условие (2) нарушается. Тогда сущест-
вует вектор
(
)
00
lLT∈ и множество
0
0
,TtT
⎤
∈
⎦
ненулевой меры, на котором вы-
полняется неравенство
(
)()
[
]
(
)
[
]
00 0
,, min , ,,
Тр Тр
uP
B
tU t X Ttl Btu X Ttl t T
∈
>∈
.
Следовательно,
() () ()
0 0
0 0
000 00
,, min,,
TT
Тр Тр
uP
tt
B
U XTld BuXTld
τ
τττ τ ττ
∈
⎡⎤ ⎡⎤
>
⎣⎦ ⎣⎦
∫∫
. (3)
Из равенства
()
00
0xT = и условия (3) выводим
(
)
000
0,xT l
=
=
() () ()
0 0
0 0
00 0 00 0 0
00
,, , , , ,
TT
tt
XT t x l XT B U l d XT C l d
τ
ττ τ ττ τ
⎡⎤ ⎡⎤ ⎡⎤
++=
⎣⎦ ⎣⎦ ⎣⎦
∫∫
                           3. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРЕДЕЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ

       3.2. Необходимые условия оптимальности программной стратегии.
Пусть выполнены условия теоремы 1. Полагаем

                               ε [T ] = max ⎡⎢ min                                      q, l ⎤ = max F ( l , T ) , T ≥ t0 ,
                                                                                             ⎥⎦
                                                                                                                                                               (1)
                                                   l =1   ⎣    q∈G ( t0 , x0 ,T )                 l =1




                                      {
                          L0 (T ) = l 0 (T ) ∈ S ( 0,1) F ( l 0 (T ) , T ) = max F ( l , T ) , T ≥ t0 ,
                                                                                                           l∈S ( 0,1)             }
где
                                                                 T                                                           T
           F ( l , T ) = X [T , t0 ] x0 , l + ∫ min X [T ,τ ] B (τ ) u , l dτ + ∫ X [t ,τ ] C (τ ) , l dτ .
                                                                      u∈P
                                                                 t0                                                          t0


       По лемме 2.1 функция ε является непрерывной. Условие ε [T ] > 0 будет

необходимым и достаточным для того, чтобы 0 ∉ G ( t0 , x0 , T ) . Отсюда следует,

что оптимальное время перехода T 0 совпадает с наименьшим из корней урав-
нения ε [T ] = 0 , лежащим правее начального момента времени t0 .

       Теорема 2 (необходимые условия оптимальности). Пусть T 0 - оптималь-
ное время перехода и U 0 ( ⋅) - программное управление, решающее задачу линей-

ного быстродействия. Тогда
                                B ( t ) U 0 ( t ) , X Тр ⎡⎣T 0 , t ⎤⎦ l 0 = min B ( t ) u , X Тр ⎡⎣T 0 , t ⎤⎦ l 0 ,                                            (2)
                                                                                                     u∈P


для всех l 0 ∈ L0 (T 0 ) и при почти всех t ∈ ⎡⎣t0 , T 0 ⎤⎦ .

       Доказательство. Допустим, что условие (2) нарушается. Тогда сущест-
вует вектор l 0 ∈ L0 (T ) и множество T ∈ ⎡⎣t0 , T 0 ⎤⎦ ненулевой меры, на котором вы-

полняется неравенство
                            B ( t ) U 0 ( t ) , X Тр [T , t ] l 0 > min B ( t ) u , X Тр [T , t ] l 0 , t ∈ T .
                                                                                          u∈P


Следовательно,
                  T0                                                                            T0

                     ∫ B (τ )U (τ ) ,                           ⎡⎣T ,τ ⎤⎦ l dτ >                ∫ min B (τ ) u,               X Тр ⎡⎣T 0 ,τ ⎤⎦ l 0 dτ .        (3)
                                      0                   Тр          0             0
                                                    X
                                                                                                     u∈P
                     t0                                                                         t0


       Из равенства x 0 (T 0 ) = 0 и условия (3) выводим

                                                                          0 = x 0 (T 0 ) , l 0 =
                                              T0                                                                        T0
           X ⎡⎣T , t0 ⎤⎦ x0 , l
                 0                0
                                          +   ∫     X ⎡⎣T ,τ ⎤⎦ B (τ ) U (τ ) , l dτ +
                                                                 0                          0          0
                                                                                                                        ∫    X ⎡⎣T 0 ,τ ⎤⎦ C (τ ) , l 0 dτ =
                                              t0                                                                        t0



                                                                                          108

Страницы