Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 109 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

3. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРЕДЕЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ
109
() () ()
0 0
0 0
00 0 00 0 0
00
,, , , , ,
TT
Тр
tt
XTtxl BU XTld XTC ld
τ
τττ τττ
⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎡⎤
=+ + >
⎣ ⎦ ⎣⎦ ⎣⎦
∫∫
() ()
0 0
0 0
00 00 0 0
00
,, min , , , ,
TT
Тр
uP
tt
XTtxl BuXTld XTC ld
ττττττ
∈
⎡⎤ ⎡⎤ ⎡⎤
>+ + >=
⎣⎦ ⎣⎦ ⎣⎦
∫∫
(
)
0
0T
ε
=
=
.
Получили противоречие, которое и доказывает справедливость теоремы.
Заметим, что условие (2) доказанной теоремы должно выполняться обяза-
тельно для всех векторов
(
)
000
lLT∈ . Покажем это на примере.
Пример 1. Рассмотрим следующую задачу линейного быстродействия:
11
2
112 2 1 2
22
,, 1,1,
uu
xuxu u P Ru u
uu
⎧
⎫
⎛⎞ ⎛⎞
⎪
⎪
== =∈= ∈ ≤≤
⎨
⎬
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎪
⎪
⎩⎭

10
0
20
1
,0,
1
x
t
x
⎛⎞
⎛⎞
=
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
.
Очевидно, что здесь оптимальное
время перехода
0
1T = , а оптимальное
программное управление (см. рис. 1)
имеет вид
()
[]
0
1
,0,1
1
Ut t
−
⎛⎞
=∈
⎜⎟
−
⎝⎠
.
Проверим выполнение условий теоре-
мы 2. Имеем
[]
()
12
12 11 22
1, 1
1
0
max min
T
uu
l
Tll ululd
ετ
≤≤
=
⎡
⎤
=
++ + =
⎢
⎥
⎣
⎦
∫
(
)
12 1 2
1
max
l
ll l lT
=
⎡
⎤
=+−+
⎣
⎦
.
Наименьшим корнем уравнения
]
0T
ε
=
является момент времени
0
1T
=
. При
этом
()
1
00
12
2
1, 0, 0
l
LT l l l l
l
⎧
⎫
⎛⎞
⎪
⎪
== = ≥ ≥
⎨
⎬
⎜⎟
⎝⎠
⎪
⎪
⎩⎭
.
Условие (2) здесь принимает вид
0
0
u
10
20
x
x
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
2
x
1
x
Рис. 1 
                       3. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРЕДЕЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ

                                        T0                                                      T0
       = X ⎡⎣T , t0 ⎤⎦ x0 , l       +   ∫ B (τ )U (τ ) ,                     ⎡⎣T ,τ ⎤⎦ l dτ +       ∫     X ⎡⎣T 0 ,τ ⎤⎦ C (τ ) , l 0 dτ >
                 0              0                        0              Тр        0        0
                                                                    X
                                        t0                                                          t0

                                        T0                                                     T0
       > X ⎡⎣T , t0 ⎤⎦ x0 , l
                 0              0
                                    + ∫ min B (τ ) u , X             Тр
                                                                          ⎡⎣T ,τ ⎤⎦ l dτ +
                                                                              0        0
                                                                                               ∫         X ⎡⎣T 0 ,τ ⎤⎦ C (τ ) , l 0 dτ >=
                                             u∈P
                                        t0                                                     t0


                                                                 = ε (T 0 ) = 0 .

Получили противоречие, которое и доказывает справедливость теоремы.
     Заметим, что условие (2) доказанной теоремы должно выполняться обяза-
тельно для всех векторов l 0 ∈ L0 (T 0 ) . Покажем это на примере.

       Пример 1. Рассмотрим следующую задачу линейного быстродействия:
                                               ⎛u ⎞        ⎪⎧⎛ u ⎞                     ⎪⎫
                       x1 = u1 , x2 = u2 , u = ⎜ 1 ⎟ ∈ P = ⎨⎜ 1 ⎟ ∈ R 2 u1 ≤ 1, u2 ≤ 1⎬ ,
                                               ⎝ u2 ⎠       ⎪⎩⎝ u2 ⎠                  ⎭⎪

                                                         ⎛ x10 ⎞ ⎛1⎞
                                                         ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ , t0 = 0, .
                                                         ⎝ x20 ⎠ ⎝1⎠

                      x2                                                     Очевидно, что здесь                             оптимальное
                                                       ⎛ x10 ⎞
                                                       ⎜ ⎟                   время перехода T 0 = 1 , а оптимальное
                                                       ⎝ x20 ⎠
                                                                             программное управление (см. рис. 1)
                                                                             имеет вид
                                                 0
                                             u
                                                                                                           ⎛ −1 ⎞
                      0                                                                        U 0 ( t ) = ⎜ ⎟ , t ∈ [ 0,1] .
                                                                   x1                                      ⎝ −1 ⎠

                                                                             Проверим выполнение условий теоре-
                                                                             мы 2. Имеем
                                                                                                 ⎡        T
                                                                                                                                  ⎤
                      Рис. 1                                                      ε [T ] = max ⎢l1 + l2 + ∫ min ( u1l1 + u2l2 )dτ ⎥ =
                                                                                            l =1            u1 ≤1, u2 ≤1
                                                                                                 ⎣        0                       ⎦
                                                     = max ⎡⎣l1 + l2 − ( l1 + l2 ) T ⎤⎦ .
                                                        l =1


Наименьшим корнем уравнения ε [T ] = 0 является момент времени T 0 = 1 . При

этом
                                                      ⎧⎪ ⎛ l ⎞                         ⎫⎪
                                         L0 (T 0 ) = ⎨l = ⎜ 1 ⎟ l = 1, l1 ≥ 0, l2 ≥ 0 ⎬ .
                                                     ⎩⎪ ⎝ l2 ⎠                        ⎭⎪

Условие (2) здесь принимает вид


                                                                        109

Страницы