Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 110 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

3. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРЕДЕЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ
110
()
(
)
(
)
[
]
12
00 00 0 0
11 22 11 22
1, 1
min , 0,1 ,
uu
lU t lU t lu lu t
≤≤
+= +∈. (4)
Очевидно, что оптимальное управление
0
U удовлетворяет соотношению (4),
при всех векторах
()
0
00
1
0
2
l
LT
l
⎛⎞
∈
⎜⎟
⎝⎠
. Однако, для одного вектора
()
000
1
0
lLT
⎛⎞
=∈
⎜⎟
⎝⎠
этому условию удовлетворяет, например, управление
()
[]
1
,0,1
1
Ut t
∗
−
⎛⎞
=∈
⎜⎟
+
⎝⎠
, кото-
рое заведомо не является оптимальным.
Приведем последовательность действий по решению задачи управления
динамической системой на основе теоремы 2. По формуле (1) находим выра-
жение для функции
ε
. Решаем уравнение
[
]
0T
ε
=
. Наименьший корень
0
0
Tt> ,
если таковой найдется, будет оптимальным временем перехода. Далее опреде-
ляется множество
()
00
LT , которое является не пустым в силу непрерывности
функции
F и компактности множества
(
)
0,1S
. Для каждого вектора
(
)
000
lLT∈
по формуле (2) строится программное управление. По теореме 2 среди постро-
енных управлений обязательно содержится управление
()
0
U ⋅ , для которого вы-
полняется равенство
(
)
()
00
00
,, , 0xt x U T
⋅
=
. Управление
(
)
0
U ⋅ и будет оптималь-
ным. Приведенный алгоритм будет эффективным, если множество
(
)
00
LT со-
держит ровно один элемент
0
l , а условие (2) определяет управление
0
U одно-
значно по существу.
Пример 2*. Рассмотрим следующую задачу линейного быстродействия
121
212
,
,
x
xu
x
xu
=
+
=− +
1
22 2
12
2
1,
u
uP Ru u
u
⎫
⎛⎞
⎪
∈= ∈ + ≤
⎬
⎜⎟
⎝⎠
⎪
⎩⎭
01020
0, 1, 1txx
=
==.
Фундаментальная матрица Коши здесь имеет вид
[]
(
)
(
)
() ()
cos sin
,
sin cos
ts ts
Xts
ts ts
−−⎛⎞
=
⎜⎟
−− −
⎝⎠
.
Вычисляем 
                   3. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРЕДЕЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ

                     l10U10 ( t ) + l20U 20 ( t ) = min
                                                u1 ≤1, u2 ≤1
                                                               ( l u + l u ) , t ∈ [0,1] ,
                                                                 0
                                                                1 1
                                                                        0
                                                                        2 2                  .                         (4)

Очевидно, что оптимальное управление U 0 удовлетворяет соотношению (4),
                  ⎛ l10 ⎞ 0 0                                       ⎛1⎞
при всех векторах ⎜ 0 ⎟ ∈ L (T ) . Однако, для одного вектора l 0 = ⎜ ⎟ ∈ L0 (T 0 )
                  ⎝ l2 ⎠                                            ⎝0⎠

                                                                                                 ⎛ −1⎞
этому условию удовлетворяет, например, управление U ∗ ( t ) = ⎜                                      ⎟ , t ∈ [ 0,1] , кото-
                                                                                                 ⎝ +1⎠

рое заведомо не является оптимальным.
      Приведем последовательность действий по решению задачи управления
динамической системой на основе теоремы 2. По формуле (1) находим выра-
жение для функции ε . Решаем уравнение ε [T ] = 0 . Наименьший корень T 0 > t0 ,

если таковой найдется, будет оптимальным временем перехода. Далее опреде-
ляется множество L0 (T 0 ) , которое является не пустым в силу непрерывности

функции F и компактности множества S ( 0,1) . Для каждого вектора l 0 ∈ L0 (T 0 )

по формуле (2) строится программное управление. По теореме 2 среди постро-
енных управлений обязательно содержится управление U 0 ( ⋅) , для которого вы-

полняется равенство x ( t0 , x0 ,U 0 ( ⋅) , T 0 ) = 0 . Управление U 0 ( ⋅) и будет оптималь-

ным. Приведенный алгоритм будет эффективным, если множество L0 (T 0 ) со-

держит ровно один элемент l 0 , а условие (2) определяет управление U 0 одно-
значно по существу.
      Пример 2*. Рассмотрим следующую задачу линейного быстродействия
                                                x1 = x2 + u1 ,
                                                x2 = − x1 + u2 ,

                                            ⎧⎪⎛ u ⎞                   ⎫⎪
                                   u ∈ P = ⎨⎜ 1 ⎟ ∈ R 2 u12 + u22 ≤ 1⎬ ,
                                           ⎩⎪⎝ u2 ⎠                  ⎭⎪

                                          t0 = 0, x10 = 1, x20 = 1 .

      Фундаментальная матрица Коши здесь имеет вид
                                              ⎛ cos ( t − s ) sin ( t − s ) ⎞
                                 X [t , s ] = ⎜                               ⎟.
                                              ⎝ − sin ( t − s ) cos ( t − s ) ⎠

      Вычисляем
                                                        110

Страницы