Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 112 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

3. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРЕДЕЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ
112
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Рис. 2
Рассмотрим задачу линейного быстродействия для управляемого объекта,
динамика которого описывается линейными дифференциальными уравнениями
с переменными коэффициентами.
Пример 3*
(
)
()
1121
21 22
cos ,
1
sin ,
1
xtxtxu
x
xtxu
t
=++
=+ +
+
(5)
1
22 2
12
2
3,
u
uP Ru u
u
⎧
⎫
⎛⎞
⎪
⎪
∈= ∈ + ≤
⎨
⎬
⎜⎟
⎝⎠
⎪
⎪
⎩⎭
01020
0, 1, 1txx
=
==.
Построим фундаментальную матрицу Коши для однородной системы диффе-
ренциальных уравнений и запишем выражение для функции
ε
. Имеем
[]
10
11 12 1 1 11 12 1
1
2021 22 2 2 21 22 2
0
[ , 0] [ , 0] [ , ] [ , ]
max , min ,
[,0] [,0] [,] [,]
Тр
T
uP
l
xxT xT l u xT xT l
T d
x
xT xT l u xT xT l
ττ
ε
τ
ττ
∈
=
⎡ ⎤
⎛⎞
⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⎢ ⎥
=+ =
⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎢ ⎥
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠
⎝⎠
⎣ ⎦
∫
11 12 1 1 1 11 2 21
1
21 22 2 2 1 12 2 21
0
[ , 0] [ , 0] [ , ] [ , ]
max , min ,
[,0] [,0] [,] [,]
T
uP
l
xT xT l u lxT lxT
d
xT xT l u lxT lxT
ττ
τ
ττ
∈
=
⎡⎤
++
⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞
=+ =
⎢⎥
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟
++
⎢⎥
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠
⎣⎦
∫
()
(
)
11 12 1 21 22 2
1
max [ ,0] [ ,0] [ ,0] [ ,0]
l
x
TxTlxTxTl
=
+++ −
⎡
⎣
()()
22
111 2 21 112 2 21
0
3 [,] [,] [,] [,]
T
lxT lxT lxT lxT d
τ
ττττ
⎤
−⋅ + + +
⎥
⎦
∫
.
Программная стратегия, удовлетворяющая необходимым условиям оп-
тимальности, определяется по формуле 
                       3. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРЕДЕЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ

                               1

                         0.8

                         0.6

                         0.4

                         0.2


                                              0.2           0.4          0.6          0.8            1


                                                               Рис. 2
        Рассмотрим задачу линейного быстродействия для управляемого объекта,
динамика которого описывается линейными дифференциальными уравнениями
с переменными коэффициентами.
        Пример 3*
                                                    x1 = ( cos t ) x1 + tx2 + u1 ,
                                                             1                                                               (5)
                                                    x2 =        x1 + ( sin t ) x2 + u2 ,
                                                           t +1

                                                      ⎪⎧⎛ u ⎞                   ⎫⎪
                                             u ∈ P = ⎨⎜ 1 ⎟ ∈ R 2 u12 + u22 ≤ 3⎬ ,
                                                     ⎩⎪⎝ u2 ⎠                  ⎭⎪

                                                     t0 = 0, x10 = 1, x20 = 1 .

Построим фундаментальную матрицу Коши для однородной системы диффе-
ренциальных уравнений и запишем выражение для функции ε . Имеем
                ⎡ ⎛ x [T , 0] x [T , 0] ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ l ⎞ T           ⎛ u1 ⎞ ⎛ x11[T ,τ ] x12 [T ,τ ] ⎞
                                                                                                    Тр
                                                                                                                 ⎛ l1 ⎞      ⎤
ε [T ] = max ⎢ ⎜     11         12
                                           ⎟ ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ + ∫ min
                                                10      1
                                                                  ⎜ ⎟, ⎜                          ⎟              ⎜ ⎟      dτ ⎥ =
          l =1
               ⎢⎣ ⎝ x21[T , 0] x22 [T , 0] ⎠ ⎝ x20 ⎠ ⎝ l2 ⎠ 0
                                                              u∈P
                                                                  ⎝ u2 ⎠ ⎝ x21[T ,τ ] x22 [T ,τ ] ⎠              ⎝ l2 ⎠      ⎥⎦

                  ⎡ ⎛ x [T , 0] + x12 [T , 0] ⎞ ⎛ l1 ⎞ T       ⎛ u ⎞ ⎛ l x [T ,τ ] + l2 x21[T ,τ ] ⎞         ⎤
         = max ⎢ ⎜ 11                          ⎟ , ⎜ ⎟ + ∫ min ⎜ 1 ⎟ , ⎜ 1 11                          ⎟ dτ ⎥ =
            l =1
                 ⎢⎣ ⎝ x21[T , 0] + x22 [T , 0] ⎠ ⎝ l2 ⎠  0
                                                           u∈P
                                                               ⎝ u2 ⎠ ⎝ l1 x12 [T ,τ ] + l2 x21[T ,τ ] ⎠    ⎥⎦

                         = max ⎡⎣( x11[T , 0] + x12 [T , 0]) l1 + ( x21[T , 0] + x22 [T , 0]) l2 −
                               l =1

                          T
                                                                                                           ⎤
                      −3 ⋅ ∫       ( l1 x11[T ,τ ] + l2 x21[T ,τ ]) + ( l1 x12 [T ,τ ] + l2 x21[T ,τ ]) dτ ⎥ .
                                                                   2                                   2

                           0                                                                               ⎦

       Программная стратегия, удовлетворяющая необходимым условиям оп-
тимальности, определяется по формуле



                                                                  112

Страницы