Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

3. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРЕДЕЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ
113
()
(
)
(
)
()
() ()
()
00 00
13 1 23 2
00 0
12
0
00 00
14 1 24 2
00 0
12
,,
,,,
3
,,
,,,
x
Ttl x Ttl
tl l T
Ut
x
Ttl x Ttl
tl l T
⎛⎞
+
⎜⎟
−
Ε
⎜⎟
=⋅
⎜⎟
+
⎜⎟
−
⎜⎟
⎜⎟
Ε
⎝⎠
,
()
00 00
0
,,ttTlLT
⎡⎤
∈∈
⎣⎦
, (6)
где
()()()
()
() ()
()
22
00 0 0 0 0 0 0 0 0 0
12 13 123 2 14 124 2
,,, , , , ,tl l T x T tl x T tl x T tl x T tlΕ= + + + .
В данном случае
0
0.662T = ,
(){}
00 0 0
0.617752
,
0.786372
LT l l
⎛⎞
==
⎜⎟
⎝⎠
.
Подставим управление (6) в дифференциальные уравнения (5) и проин-
тегрируем их с заданными начальными условиями. Непосредственно проверя-
ется, что для полученного закона движения
(
)
00
,0,
x
tt T
⎡
⎤
∈
⎣
⎦
выполняется
()
0
0.0000134271 0
0.662
0.0000148833 0
x
−
⎛⎞⎛⎞
=≈
⎜⎟⎜⎟
−
⎝⎠⎝⎠
.
Таким образом, построенное управление
(
)
0
Ut является оптимальным. Ниже
на рис. 3 приводится оптимальная траектория движения
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Рис. 3 
                         3. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРЕДЕЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ

                                             ⎛ x13 (T 0 , t ) l10 + x23 (T 0 , t ) l20 ⎞
                                             ⎜−                                        ⎟
                                             ⎜        Ε ( t , l10 , l20 , T 0 )        ⎟
                              U 0 (t ) = 3 ⋅ ⎜                                         ⎟ , t ∈ ⎡⎣t0 , T 0 ⎤⎦ , l 0 ∈ L0 (T 0 ) ,            (6)
                                             ⎜ x14 (T , t ) l1 + x24 (T , t ) l2 ⎟
                                                      0         0               0    0

                                             ⎜−                                        ⎟
                                             ⎜
                                             ⎝        Ε   ( t , l1
                                                                  0 0
                                                                   , l2 , T 0
                                                                              )        ⎟
                                                                                       ⎠

где

          Ε ( t , l10 , l20 , T 0 ) =    ( x (T , t ) l    + x23 (T 0 , t ) l20   ) + ( x (T , t ) l     + x24 (T 0 , t ) l20   )
                                                                                   2                                                2
                                            13
                                                 0
                                                      1
                                                       0
                                                                                         14
                                                                                              0
                                                                                                    1
                                                                                                     0
                                                                                                                                        .

В данном случае
                                                                                 ⎛ 0.617752 ⎞
                                        T 0 = 0.662 , L0 (T 0 ) = {l 0 } , l 0 = ⎜          ⎟.
                                                                                 ⎝ 0.786372 ⎠

      Подставим управление (6) в дифференциальные уравнения (5) и проин-
тегрируем их с заданными начальными условиями. Непосредственно проверя-
ется, что для полученного закона движения x 0 ( t ) , t ∈ ⎡⎣0, T 0 ⎤⎦ выполняется

                                                            ⎛ −0.0000134271 ⎞ ⎛ 0 ⎞
                                            x 0 ( 0.662 ) = ⎜               ⎟ ≈⎜ ⎟.
                                                            ⎝ −0.0000148833 ⎠ ⎝ 0 ⎠

Таким образом, построенное управление U 0 ( t ) является оптимальным. Ниже

на рис. 3 приводится оптимальная траектория движения

                    1




                 0.8




                 0.6




                 0.4




                 0.2




                                           0.2               0.4                  0.6             0.8                  1




                                                                   Рис. 3




                                                                     113

Страницы