Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 114 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

3. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРЕДЕЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ
114
Пример 4*.
1 1 2 323
21 2313
312312
22 ,
3,
42 ,
x
xxxuu
xx xxuu
x
xxxuu
=
−+ − + +
=− −++
=− + − + +
0102030
0, 1, 1, 1txxx
=
===.
В данном примере матрицы
A
и
B
имеют вид
12 2 011
131, 101
14 2 110
AB
−−
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
=−− =
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
−−
⎝⎠⎝⎠
.
Заметим, что собственными числами матрицы
A
являются действительные
числа -1, -2, -3.
Построим фундаментальную матрицу Коши для однородной системы
дифференциальных уравнений и запишем выражение для функции
ε
. Имеем
[]
() ()
()
() ()
(
)
() ()
()
()
()
()
()
()
()
() ()
()
() ()
()
() ()
()
323232
222
323232
24 3 58 3 14 3
,1 2 1
23 56 13
TTTTTT
TTT
TTT
TTT
TTTTTT
TTT
eeeeeeeee
Xt e e e e e e
eeeeeeeee
ττττττ
τττ
τττ
τττ
ττττττ
τττ
τ
−− − −− − −− −
−−−
−− −− −−
−−−
−− − −− − −− −
−−−
⎛ ⎞
−+ − −+ − −+
⎜ ⎟
⎜ ⎟
=−+ −−+ −−+
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
−+ − −+ − −+
⎝ ⎠
[]
() ()
3
123 123
1
1
1
0
max , , , min , , , ,
i
T
ii
u
l
i
TmlllT klllTud
ε
ττ
≤
=
=
⎡⎤
=+ =
⎢⎥
⎣⎦
∑
∫
()( )
3
123 123
1
1
0
max , , , , , , ,
T
i
l
i
ml l l T k l l l T d
τ
=
=
⎡⎤
=+
⎢⎥
⎣⎦
∑
∫
,
где
()
()
(
)
(
)
32 2 32
123 1 2 3
,,, 4 8 3 2 4 6
TTT TT TTT
mlllT e e el e el e e el
−−− −− −−−
=− + − + − +− + − ,
()
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
()
32
1123 1 3 1 2 3 1 2 3
,,,, 6 2 3 3 4 3
TT T
klllT e l l e l l l e l l l
ττ τ
τ
−− −− −−
=− + − + + + + + ,
()
(
)
(
)
3
2123 1 3
,,,,
T
klllT e l l
τ
τ
−−
=
+ ,
()
(
)
(
)
(
)
(
)
32
3123 1 3 1 2 3
,,,, 3 4 3
TT
klllT e l l e l l l
ττ
τ
−− −−
=− + + + + .
Программная стратегия, удовлетворяющая необходимым условиям оптималь-
ности, определяется по формуле
()
(
)
(
)
000000
123
,,, , , 0, , 1,2,3
ii
Ut signklllTt t T i
⎡⎤
=∈=
⎣⎦
.
В данном случае 
                              3. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРЕДЕЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ

         Пример 4*.
                                                        x1 = − x1 + 2 x2 − 2 x3 + u2 + u3 ,
                                                        x2 = x1 − 3x2 − x3 + u1 + u3 ,
                                                        x3 = − x1 + 4 x2 − 2 x3 + u1 + u2 ,

                                                        t0 = 0, x10 = 1, x20 = 1, x30 = 1 .

         В данном примере матрицы A и B имеют вид
                                                    ⎛ −1 2 − 2 ⎞      ⎛0 1 1⎞
                                                    ⎜          ⎟      ⎜       ⎟
                                                A = ⎜ 1 −3 −1 ⎟ , B = ⎜ 1 0 1 ⎟ .
                                                    ⎜ −1 4 − 2 ⎟      ⎜1 1 0⎟
                                                    ⎝          ⎠      ⎝       ⎠

Заметим, что собственными числами матрицы A являются действительные
числа -1, -2, -3.
         Построим фундаментальную матрицу Коши для однородной системы
дифференциальных уравнений и запишем выражение для функции ε . Имеем

             ⎜           (
             ⎛ e −3(T −τ ) 2 − 4eT −τ + 3e 2(T −τ )         )   −e
                                                                     −3(T −τ )
                                                                                  (5 − 8e      T −τ
                                                                                                       + 3e
                                                                                                                2(T −τ )
                                                                                                                           )   −e
                                                                                                                                    −3(T −τ )
                                                                                                                                                (1 − 4e  T −τ
                                                                                                                                                                 + 3e
                                                                                                                                                                         2(T −τ )
                                                                                                                                                                                    ) ⎞⎟
X [ t ,τ ] = ⎜         e ( ) ( −1 + eT −τ )                                              ( −2 + e )                                                     ( −1 + e )                    ⎟
                         −2 T −τ                                             −2(T −τ )                   T −τ                               −2(T −τ )             T −τ
                                                                        −e                                                             −e
             ⎜                                                                                                                                                                        ⎟
             ⎜ −3(T −τ )
             ⎜e
             ⎝            (  2 − 3eT −τ + e ( )
                                           2 T −τ
                                                            )    −e
                                                                      −3(T −τ )
                                                                                  ( 5 − 6e      T −τ
                                                                                                       +e
                                                                                                            2(T −τ )
                                                                                                                       )       −e
                                                                                                                                     −3(T −τ )
                                                                                                                                                 (1 − 3e  T −τ
                                                                                                                                                                 +e
                                                                                                                                                                      2(T −τ )
                                                                                                                                                                                 )    ⎟
                                                                                                                                                                                      ⎟
                                                                                                                                                                                      ⎠

                                             ⎡                          3 T                                    ⎤
                              ε [T ] = max ⎢ m ( l1 , l2 , l3 , T ) + ∑ ∫ min ki ( l1 , l2 , l3 , T ,τ ) ui dτ ⎥ =
                                        l =1                                 u ≤1
                                             ⎣                        i =1 0 i                                 ⎦

                                              ⎡                          3 T                             ⎤
                                      = max ⎢ m ( l1 , l2 , l3 , T ) + ∑ ∫ ki ( l1 , l2 , l3 , T ,τ ) dτ ⎥ ,
                                         l =1
                                              ⎣                        i =1 0                            ⎦

где
           m ( l1 , l2 , l3 , T ) = ( −4e −3T + 8e−2T − 3e−T ) l1 + ( 2e−2T − e−T ) l2 + ( −4e−3T + 6e−2T − e−T ) l3 ,

             k1 ( l1 , l2 , l3 , T ,τ ) = −6e               ( l1 + l3 ) − 2e−(T −τ ) ( 3l1 + l2 + l3 ) + 3e−2(T −τ ) ( 4l1 + l2 + 3l3 ) ,
                                                −3(T −τ )




                                                    k2 ( l1 , l2 , l3 , T ,τ ) = e                     ( l1 + l3 ) ,
                                                                                         −3(T −τ )



                               k3 ( l1 , l2 , l3 , T ,τ ) = −3e                  ( l1 + l3 ) + e−2(T −τ ) ( 4l1 + l2 + 3l3 ) .
                                                                    −3(T −τ )



Программная стратегия, удовлетворяющая необходимым условиям оптималь-
ности, определяется по формуле

                                                        (                                  )
                                  U i0 ( t ) = sign ki ( l10 , l20 , l30 , T 0 , t ) , t ∈ ⎡⎣0, T 0 ⎤⎦ , i = 1, 2,3 .

В данном случае

                                                                                 114

Страницы