Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 111 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

3. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРЕДЕЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ
111
[
]
T
ε
=
() ()
() ()
11 1
1
22 2
0
cos sin
cos sin 1
max , min ,
sin cos
sin cos 1
T
uP
l
TT
lu l
TT
d
TT
lu l
TT
ττ
τ
ττ
∈
=
⎡ ⎤
−− −
⎛⎞
⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎞
⎛⎞⎛⎞
=+ =
⎢ ⎥
⎜⎟
⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
−−
−
⎝⎠⎝⎠
⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎠
⎢ ⎥
⎝⎠
⎣ ⎦
∫
(
)
(
)
12
1
max cos sin sin cos
l
lTTl T T
=
=++−+−
⎡
⎣
() ()
()
() ()
()
22
12 12
0
cos sin sin cos
T
lT lT lT lT d
τ
ττττ
⎤
−−−−+−+−
⎥
⎦
∫
.
Минимум подынтегрального выражения достигается на векторе
()
(
)
(
)
() ()
[]
12
12
cos sin
ˆ
,, , 0,
sin cos
lT lT
UlT P T
lT l T
ττ
ττ
ττ
−− −
⎛⎞
=− ∈ ∈
⎜⎟
−+ −
⎝⎠
.
Выражение для функции
ε
здесь принимает вид
[
]
(
)
(
)
12
1
max cos sin sin cos
l
TlTTlTTT
ε
=
=++−+−=⎡⎤
⎣⎦
()( )
22
cos sin sin cos 2TT T TT T=++−+−=−,
где
() ()
{}
()
00 0
cos sin
1
,
sin cos
2
TT
LT l T l T
TT
+
⎛⎞
==
⎜⎟
−+
⎝⎠
.
Таким образом,
[
]
00
02TT
ε
=⇒ = .
Вычисляем оптимальное управление
()
()
(
)
(
) ()
()()()()
0
cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2
1
2
cos 2 sin 2 sin 2 sin 2 cos cos 2
tt
Ut
tTt
⎛⎞
−+ −+−+ −
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
−+ −−−+ −
⎝⎠
.
Подставляя его в дифференциальные уравнения движения и интегрируя по-
следние с заданными начальными условиями, находим
()
()
()()
(
)
()
00
11
12
22
22cossin, 22cossin
x
ttttxtttt=− − + + =− − + − .
Очевидно, что
(
)
(
)
00
12
220xx
=
= .
Таким образом, построенное управление
(
)
0
Ut является оптимальным.
Ниже на рис. 2 приводится оптимальная траектория движения 
                           3. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРЕДЕЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ

                                                                          ε [T ] =

               ⎡ ⎛ cos T        sin T ⎞ ⎛1⎞ ⎛ l1 ⎞ T        ⎛ u1 ⎞ ⎛ cos (T − τ ) − sin (T − τ ) ⎞ ⎛ l1 ⎞     ⎤
      = max ⎢ ⎜                       ⎟ ⎜ ⎟ , ⎜ l ⎟ + ∫ min ⎜    ⎟ ,⎜                            ⎟ ⎜    ⎟ dτ ⎥ =
         l =1
              ⎣⎢ ⎝ − sin T      cos T ⎠ ⎝1⎠ ⎝ 2 ⎠     0
                                                        u∈P
                                                            ⎝ u2 ⎠ ⎝ sin (T − τ ) cos (T − τ ) ⎠ ⎝ l2 ⎠      ⎥⎦

                                           = max ⎡⎣l1 ( cos T + sin T ) + l2 ( − sin T + cos T ) −
                                              l =1

                     T
                                                                                                                       ⎤
                          ( l cos (T − τ ) − l               sin (T − τ ) ) + ( l1 sin (T − τ ) + l2 cos (T − τ ) ) dτ ⎥ .
                                                                           2                                       2
                    −∫     1                             2
                      0                                                                                                ⎦

Минимум подынтегрального выражения достигается на векторе
                                                 ⎛ l cos (T − τ ) − l2 sin (T − τ ) ⎞
                             Uˆ (τ , l , T ) = − ⎜ 1                                   ⎟ ∈ P, τ ∈ [ 0, T ] .
                                                 ⎝ l1 sin ( T − τ ) + l2 cos ( T − τ ) ⎠

         Выражение для функции ε здесь принимает вид
                               ε [T ] = max ⎡⎣l1 ( cos T + sin T ) + l2 ( − sin T + cos T ) − T ⎤⎦ =
                                              l =1



                                           ( cos T + sin T ) + ( − sin T + cos T )
                                                                      2                     2
                                 =                                                              −T = 2 −T ,

где
                                                                                     1 ⎛ cos T + sin T ⎞
                                      L0 (T ) = {l 0 (T )} , l 0 (T ) =                 ⎜                 ⎟.
                                                                                      2 ⎝ − sin T + cos T ⎠

Таким образом,
                                                                ε 0 [T ] = 0 ⇒ T 0 = 2 .

Вычисляем оптимальное управление

             U (t ) =
               0
                          ⎛           (
                      1 ⎜ − cos 2 + sin 2 cos                         ) (          ) (
                                                                              2 − t + − sin 2 + cos 2 sin       ) ( 2 − t ) ⎞⎟ .
                                       (
                       2 ⎜⎜ − cos 2 + sin 2 sin
                          ⎝                                            ) (    2 − t ) − ( − sin     2 + cos T ) cos ( 2 − t ) ⎟⎟
                                                                                                                               ⎠

Подставляя его в дифференциальные уравнения движения и интегрируя по-
следние с заданными начальными условиями, находим

                                  (                  )                                          (          )
                   x10 ( t ) = − 12 −2 + 2t ( cos t + sin t ) , x20 ( t ) = − 12 −2 + 2t ( cos t − sin t ) .

         Очевидно, что
                                                                x10   ( 2) = x ( 2) = 0.
                                                                              0
                                                                              2


         Таким образом, построенное управление U 0 ( t ) является оптимальным.

Ниже на рис. 2 приводится оптимальная траектория движения


                                                                             111

Страницы