Физика. Часть 2. Электричество и магнетизм. Ляхова Л.П - 36 стр.

произвольной точке O, удалённой от проводника на расстояние R ( по пер-
пендикуляру).
     Выберем на проводнике AB элемент тока длиной dl, который направлен
по току (KC на рис. 3.4). Из точки О бесконечно малый отрезок dl виден под
бесконечно малым углом dα. Магнитная индукция, создаваемая этим
элементом в точке O, согласно закону Био – Савара – Лапласа,
                                  μμ0 I [dl, r]
                            dB =                 .
                                   4π     r3
     Эта индукция d B в точке О направлена в соответствии с правилом
буравчика перпендикулярно плоскости чертежа (« к нам»). Векторы d B от
всех других элементов тока имеют такое же направление, поэтому сложение
векторов можно заменить сложением их модулей B = ∫ dB .
                                      µµ I ⋅ dl ⋅ sin α
     Модуль вектора d B равен dB = 0                    .
                                            4πr 2
     Найдем магнитную индукцию, создаваемую всем проводником с током
в точке О:
                                µµ I dl ⋅ sin α
                           B= 0 ∫                  .
                                 4π        r2
     Для вычисления интеграла удобно перейти к одной переменной α,
выразив r и dl через α.
     Из точки С опустим перпендикуляр CD. Найдем CD из треугольника
KDC CD = dl sin α; из треугольника CDO: CD = CO sin(              dα) ≈ r dα
(CO ≈ KO = r при бесконечно малой величине dl, при малых углах синус
угла равен самому углу, выраженному в радианах : sin(dα) ≈ dα). Тогда CD =
dl sin α = r dα.
                                  R
     Из треугольника OMК: r =         . Подставляем в интеграл:
                                sin α
                                                  α
                µµ 0 I rdα µµ 0 I sin α ⋅ dα µµ 0 I 2
                 4π ∫ r 2    4π ∫               4π α∫
           B=             =                 =           sin α ⋅ dα;
                                      R
                                                       1
    После интегрирования и подстановки пределов получаем:
                          µµ I
                       B = 0 (cos α1 − cos α 2 ) , (3.8)
                          4πR
где α1 – угол между проводником и радиус-вектором r1, проведенным из
начала проводника в искомую точку, α2 – угол между продолжением
проводника и радиус-вектором r2, проведенным из конца проводника в
искомую точку.
    Если точка A находится на расстоянии R, которое много меньше длины
проводника, то проводник можно считать бесконечно длинным. Применим
формулу (3.1) к расчету поля бесконечно длинного проводника.



                                     36