Физика. Часть 2. Электричество и магнетизм. Ляхова Л.П - 56 стр.

    Элементарная сила, действующая на точечный заряд q, направлена по
прямой, соединяющей заряд q и элемент dl (рис.) и, согласно закону Кулона,
равна
                                        q ⋅ dQ
     dF                            =            . (2)
                                       4πε0 r02
    При переходе от одного элемента полукольца к другому числовое
значение элементарных сил d F не будет меняться, но будет меняться их
направление. Поэтому следует отдельно искать проекции результирующей
силы на оси координат. В данной задаче все элементарные векторы d F
лежат в плоскости полукольца, поэтому можно ограничиться двумя осями,
направив их (из соображения симметрии) так, как показано на рисунке.
    Проецируем вектор d F на оси X и Y: dFx = dF · cos α, dFу = dF · sin α .
    Чтобы найти проекцию результирующей силы F на оси, будем
интегрировать соответствующие проекции элементарных сил по полукольцу:
    F                     x = ∫ dFx = ∫ dF · cos α ; (3)
    F                     у = ∫ dFу = ∫ dF · sin α . (4)
    В обоих случаях интеграл берется по полукольцу, что соответствует
изменению угла α в пределах от 0 до π. Подставляя формулы (1) и (2) в
выражение (3) и (4) и, учитывая, что dl = r 0 · dα, где dα – раствор угла, под
которым виден элемент dl из точки расположения заряда q, находим:
                               Qq π
    F                  x =               ∫ cos α dα = 0 ; (5)
                            4π 2 ε 0 r02 0
                        Qq π                         Qq
    F            у=                ∫
                      4π 2 ε 0 r02 0
                                     sin  α   dα =
                                                   2π 2 ε 0 r02
                                                                . (6)

                                   Qq
    Следовательно, F = Fy =                  . (7)
                                2π 2 ε 0 r02
                                                   9 ⋅ 10 9 ⋅ 2 ⋅ 10 −8 ⋅ 3 ⋅ 10 −7
    Подставим числовые значения: F =                                 2
                                                                                      = 1,14·10–3 (Н).
                                             0,05
    Таким образом, результирующая сила, действующая на точечный заряд,
который расположен в центре полукольца, направлена вдоль оси Y.

    Пример 1.5
     Тонкий стержень длиной l0 = 10 см равномерно заряжен положитель-
ным зарядом Q = 10–7 Кл. Найти силу, действующую на точечный заряд
q = 2·10–8 Кл, который расположен на продолжении стержня, на расстоянии
X0 = 20 см от его ближайшего конца. Найти напряженность поля в точках,
лежащих на продолжении стержня, как функцию расстояния x0 до стержня.
     Дано: q = 2·10–8 Кл, Q = 10–7 Кл, l0 = 10 см, X0 = 20 см.
     Найти: E(x0) – ?


                                              56