Физика. Часть 2. Электричество и магнетизм. Ляхова Л.П - 57 стр.

    Решение.
    Как и в предыдущей задаче, искомую силу можно найти как
результирующую элементарных сил dF, действующих на точечный заряд со
стороны полей отдельных малых равных элементов dх стержня ( рис.).
Выделим на стержне элемент длины dх, на котором будет сосредоточен
точечный заряд dQ.
    Ввиду равномерного распределения заряда Q по стержню, заряд dQ
          dx     х                 можно выразить формулой
                              dF                           Q
                                    dQ          = τ · dx =    dx, (1)
                                                           l0
                          q
                     х0            где τ – линейная плотность заряда,
          l
                                   распределенного на стержне.
     Согласно закону Кулона, сила взаимодействия точечных зарядов q и dQ
определится как:
                                 q ⋅ dQ
     dF                       =           , (2)
                                4πε 0 x 2
где dQ – заряд элемента dх, x – расстояние от элемента dх до точечного
заряда q.
    Все элементарные силы d F взаимодействия точечных зарядов q и dQ,
сосредоточенных на элементах dх всего стержня, направлены в одну
сторону, поэтому результирующая сила F определится скалярным
суммированием сил dF. Ввиду непрерывного распределения зарядов dQ по
стержню, F найдем интегрированием выражения (2):
     F                         = ∫ dF . (3)

    Учитывая величину заряда dQ (1), определим dF как:
                             dQ ⋅ q         Q ⋅ q dx
     dF =                                =         ⋅  . (4)
                           4πε0 ⋅ x 2       4πε0 x 2
    При интегрировании (4) по всей длине стержня переменная х меняется
от х0 до х0 + l0. Следовательно, согласно (3), результирующая сила F
определится
                          x0 + l 0
                  q⋅Q              dx     Q⋅q  1           1 
     F       =           ⋅ ∫           =         
                                                 x  −            . (5)
               4πl 0 ε 0    x      x 2   4 πε 0 0 0
                                               l        x 0 + l 0
                           0
    Выражая заданные величины в СИ и производя подстановку числовых
значений, находим
                  9 ⋅ 109 ⋅ 2 ⋅ 10 −8 ⋅ 10 −7  1    1 
              F=                                  −     = 3·10 (Н).
                                                                –5
                              0,1              0,2 0,3 
    Согласно определению, напряженность поля в точке x0 равна
                        F         Q  1             1 
     E                =     =             −            . (6)
                        q 4πl 0 ε 0  x0 x0 + l 0 

                                   57