Начертательная геометрия. Ляшков А.А - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОмГТУ | Омск

Составители: 

Рубрика: 

32
6. МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ. ОРТОГОНАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ
ПРЯМОГО УГЛА
К метрическим задачам, изучаемым в учебном курсе начертательной
геометрии, относятся задачи, в которых требуется определить метрические ха-
рактеристики заданной фигуры – длину, угол, площадь и другие, а также метри-
ческие свойства и характеристики, обусловленные расположением фигуры отно-
сительно плоскостей проекций или относительно другой (других) фигур – пер-
пендикулярность, расстояние и угол. Проекционное
решение таких задач осно-
вывается на метрических свойствах ортогонального проецирования на плоскость
и обратимости чертежа Монжа. Метрическими свойствами ортогонального про-
ецирования являются существующие зависимости между длинами отрезка пря-
мой линии и его проекции, а также между величинами угла и его проекции
(см. п. 1). Из этих зависимостей вытекает теорема о проецировании
прямого угла:
для того чтобы прямой угол проецировался в прямой угол, необходимо и доста-
точно, чтобы одна его сторона была параллельна плоскости проекций, а другая
неперпендикулярна этой плоскости. Рассмотрим геометрическое доказательство.
Оно позволяет более наглядно уви-
деть числовую и проекционную
взаимосвязь двух геометрических
фигур – прямого угла и его проек-
ции.
Необходимость. Пусть ∠BAC =
= ∠B
1
A
1
C
1
= 90° (рис. 6.1). Дока-
жем, что АС // П
1
. Предположим,
что АВ не параллельна П
1
(если AB
// П
1
,
то плоскость угла BAC парал-
лельна П
1
и по свойству 9 ортого-
нального проецирования имеем:
∠BAC =∠B
1
A
1
C
1
= 90°). Поскольку
∠B
1
A
1
C
1
⊂ П
1
, ∠B
1
A
1
C
1
= 90° и
AA
1
⊥ П
1
, как проецирующая ли-
ния, то плоскости Σ(A
1
B
1
,AA
1
) и
∆(A
1
C
1
, AA
1
) взаимно перпендику-
лярны. В этом случае АВ и AA
1
суть наклонная и ее ортогональная проекция на плоскости ∆. Так как AC ⊂ ∆ и АС
⊥ АВ, то по теореме о трех перпендикулярах имеем АС ⊥ AA
1
, т.е. АС // П
1.
Достаточность. Пусть ∠ВАС = 90°, АС // П
1
. Докажем, что ∠ B
1
A
1
C
1
= 90°.
При данных условиях имеем: AB – наклонная, А
1
В
1
– ее проекция на П
1
. По тео-
реме о трех
перпендикулярах имеем: (АС ⊥ АВ, АС // П
1
) ⇒ АС ⊥ А
1
В
1
. Из
АС // П
1
следует АС // А
1
С
1
. Следовательно, А
1
С
1
⊥ А
1
В
1
и ∠B
1
A
1
C
1
= 90°.
Из обратимости комплексного чертежа (КЧ) следует, что если А
2
В
2
, А
1
В
1
и
С
2
В
2
, С
1
В
1
– проекции пересекающихся прямых АВ и СВ, то при выполнении од-
ного из двух следующих проекционных условий:
x
z
y
П
2
П
1
B
C
B
2
B
1
A
2
A
1
C
1
C
2
A
Р и с . 6 . 1 
       6. МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ. ОРТОГОНАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ
                        ПРЯМОГО УГЛА

    К метрическим задачам, изучаемым в учебном курсе начертательной
 геометрии, относятся задачи, в которых требуется определить метрические ха-
 рактеристики заданной фигуры – длину, угол, площадь и другие, а также метри-
 ческие свойства и характеристики, обусловленные расположением фигуры отно-
 сительно плоскостей проекций или относительно другой (других) фигур – пер-
 пендикулярность, расстояние и угол. Проекционное решение таких задач осно-
 вывается на метрических свойствах ортогонального проецирования на плоскость
 и обратимости чертежа Монжа. Метрическими свойствами ортогонального про-
 ецирования являются существующие зависимости между длинами отрезка пря-
 мой линии и его проекции, а также между величинами угла и его проекции
 (см. п. 1). Из этих зависимостей вытекает теорема о проецировании прямого угла:
 для того чтобы прямой угол проецировался в прямой угол, необходимо и доста-
 точно, чтобы одна его сторона была параллельна плоскости проекций, а другая
 неперпендикулярна этой плоскости. Рассмотрим геометрическое доказательство.
                                               Оно позволяет более наглядно уви-
                              z                деть числовую и проекционную
                                               взаимосвязь двух геометрических
                             П2                фигур – прямого угла и его проек-
                      A2     C2                ции.
                                                   Необходимость. Пусть ∠BAC =
       B2                                      = ∠B1A1C1 = 90° (рис. 6.1). Дока-
                             A     C           жем, что АС // П1. Предположим,
                                               что АВ не параллельна П1 (если AB
 x                                             // П1, то плоскость угла BAC парал-
                                               лельна П1 и по свойству 9 ортого-
                      B                        нального проецирования имеем:
                                               ∠BAC =∠B1A1C1 = 90°). Поскольку
                             A1    C1          ∠B1A1C1 ⊂ П1, ∠B1A1C1 = 90° и
                                               AA1 ⊥ П1, как проецирующая ли-
                     B1               П1       ния, то плоскости Σ(A1B1,AA1) и
                                          y    ∆(A1C1, AA1) взаимно перпендику-
                    Рис. 6.1                   лярны. В этом случае АВ и AA1
суть наклонная и ее ортогональная проекция на плоскости ∆. Так как AC ⊂ ∆ и АС
⊥ АВ, то по теореме о трех перпендикулярах имеем АС ⊥ AA1, т.е. АС // П1.
   Достаточность. Пусть ∠ВАС = 90°, АС // П1. Докажем, что ∠ B1A1C1 = 90°.
При данных условиях имеем: AB – наклонная, А1В1 – ее проекция на П1. По тео-
реме о трех перпендикулярах имеем: (АС ⊥ АВ, АС // П1 ) ⇒ АС ⊥ А1В1. Из
АС // П1 следует АС // А1С1. Следовательно, А1С1 ⊥ А1В1 и ∠B1A1C1 = 90°.
   Из обратимости комплексного чертежа (КЧ) следует, что если А2В2, А1В1 и
С2В2, С1В1 – проекции пересекающихся прямых АВ и СВ, то при выполнении од-
ного из двух следующих проекционных условий:

                                        32

Страницы