Начертательная геометрия. Ляшков А.А - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОмГТУ | Омск

Составители: 

Рубрика: 

6
3. Если точка принадлежит прямой, то ее проекция принадлежит проекции
прямой.
Проекцией прямой является множество проекций всех ее точек, в том числе
и упомянутой в этом свойстве точки.
4. Пересекающиеся прямые в общем случае проецируются в пересекаю-
щиеся прямые.
Это легко доказать, если для точки пересечения прямых применить свойст-
во 3. В частном
случае проекции пересекающихся прямых могут совпадать или
одна из прямых может проецироваться в точку, принадлежащую проекции дру-
гой прямой.
5. Параллельные прямые в общем случае проецируются в параллельные
прямые.
Проецирующая поверхность ∆ (рис.1.1) для прямой будет плоскостью и на-
зывается проецирующей плоскостью. Проецирующие плоскости у параллельных
прямых параллельны и пересекаются плоскостью
проекций по параллельным
прямым (проекциям). В частном случае проекцией параллельных прямых могут
быть две точки или совпавшие прямые.
6. Отрезок проецируется в отрезок. Отрезок, перпендикулярный плоскости
проекций, проецируется в точку. Длина проекции отрезка равна длине отрезка,
умноженной на косинус угла наклона отрезка к плоскости проекций (при проеци-
ровании на П
1
: ⎪A
1
B
1
⎪=⎪ AB⎪cos α).
Поскольку прямая проецируется в
прямую, то и часть прямой (отрезок) про-
ецируется в часть прямой (отрезок). На
рис.1.2 отрезок AB проецируется в отре-
зок A
1
B
1
. Отрезок AB'
проведен парал-
лельно отрезку A
1
B
1
(AB' // A
1
B
1
). Из пря-
моугольника A
1
AB'B
1
и прямоугольного
треугольника ABB'
имеем ⎪A
1
B
1
⎪ = ⎪AB'⎪
= ⎪A B⎪cos α. Длина проекции отрезка
меньше длины отрезка (α ≠ 0) или равна
длине отрезка (α = 0). Из этого свойства
следует следующее свойство ортогонального проецирования.
7. Отрезок, параллельный плоскости проекций, проецируется на нее в парал-
лельный и равный себе отрезок.
8. Отношение длин отрезков AB и CD, лежащих на параллельных прямых
или на одной прямой, при проецировании не меняется.
Угол наклона отрезков, упомянутых в этом свойстве, к плоскости проекций
одинаков, поэтому ⎪A
1
B
1
⎪ : ⎪С
1
D
1
⎪ = ⎪AB⎪ cos α : ⎪CD⎪ cos α = ⎪AB⎪ : ⎪CD⎪.
9. Фигура, принадлежащая плоскости, параллельной плоскости проекций,
проецируется на плоскость проекций в равную ей фигуру (в натуральную вели-
чину).
Любой отрезок проецируемой фигуры параллелен плоскости проекций
(α = 0) и проецируется в равный ему отрезок (длина проекции отрезка равна дли-
A
A
1
B
B '
B
1
П
1
α
Р и с . 1 . 2 
      3. Если точка принадлежит прямой, то ее проекция принадлежит проекции
прямой.
      Проекцией прямой является множество проекций всех ее точек, в том числе
и упомянутой в этом свойстве точки.
      4. Пересекающиеся прямые в общем случае проецируются в пересекаю-
щиеся прямые.
      Это легко доказать, если для точки пересечения прямых применить свойст-
во 3. В частном случае проекции пересекающихся прямых могут совпадать или
одна из прямых может проецироваться в точку, принадлежащую проекции дру-
гой прямой.
      5. Параллельные прямые в общем случае проецируются в параллельные
прямые.
      Проецирующая поверхность ∆ (рис.1.1) для прямой будет плоскостью и на-
зывается проецирующей плоскостью. Проецирующие плоскости у параллельных
прямых параллельны и пересекаются плоскостью проекций по параллельным
прямым (проекциям). В частном случае проекцией параллельных прямых могут
быть две точки или совпавшие прямые.
      6. Отрезок проецируется в отрезок. Отрезок, перпендикулярный плоскости
проекций, проецируется в точку. Длина проекции отрезка равна длине отрезка,
умноженной на косинус угла наклона отрезка к плоскости проекций (при проеци-
ровании на П1: ⎪A1B1⎪=⎪ AB⎪cos α).
                              B             Поскольку прямая проецируется в
           α                           прямую, то и часть прямой (отрезок) про-
                              B'       ецируется в часть прямой (отрезок). На
            A                          рис.1.2 отрезок AB проецируется в отре-
  П1                                   зок A1B1. Отрезок AB' проведен парал-
                              B1       лельно отрезку A1B1 (AB' // A1B1). Из пря-
                                       моугольника A1AB'B1 и прямоугольного
             A1
                                       треугольника ABB' имеем ⎪A1B1⎪ = ⎪AB'⎪
                                       = ⎪A B⎪cos α. Длина проекции отрезка
                                       меньше длины отрезка (α ≠ 0) или равна
               Рис. 1.2                длине отрезка (α = 0). Из этого свойства
следует следующее свойство ортогонального проецирования.
     7. Отрезок, параллельный плоскости проекций, проецируется на нее в парал-
лельный и равный себе отрезок.
     8. Отношение длин отрезков AB и CD, лежащих на параллельных прямых
или на одной прямой, при проецировании не меняется.
    Угол наклона отрезков, упомянутых в этом свойстве, к плоскости проекций
одинаков, поэтому ⎪A1B1⎪ : ⎪С1D1⎪ = ⎪AB⎪ cos α : ⎪CD⎪ cos α = ⎪AB⎪ : ⎪CD⎪.
     9. Фигура, принадлежащая плоскости, параллельной плоскости проекций,
проецируется на плоскость проекций в равную ей фигуру (в натуральную вели-
чину).
     Любой отрезок проецируемой фигуры параллелен плоскости проекций
(α = 0) и проецируется в равный ему отрезок (длина проекции отрезка равна дли-


                                        6

Страницы