Начертательная геометрия. Ляшков А.А - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОмГТУ | Омск

Составители: 

Рубрика: 

8
2.1. Комплексный чертеж точки
Рассмотрим проецирование точки на три и две плоскости проекций. В про-
странстве зададим прямоугольный параллелепипед AA
2
A
z
A
3
A
1
A
x
OA
y
(рис. 2.1).
Свойства этой фигуры известны из курса геометрии средней школы: ребра, выхо-
дящие из одной вершины, перпендикулярны друг другу; каждая грань – прямо-
угольник; любое ребро параллельно трем ребрам и перпендикулярно восьми реб-
рам; параллельные ребра имеют одинаковую длину.
Через ребра, выходящие из вершины O, проведем оси x, y, z (рис. 2.2). Сис-
тема Oxyz является декартовой
системой координат (оси перпендикулярны, еди-
ница измерения одинакова по всем осям, точка O – начало координат).
Через грани, проходящие через точку O, проведем плоскости П
1
, П
2
, П
3
(рис.
2.3). Тогда оси x и y принадлежат плоскости П
1
(горизонтальная плоскость про-
екций), оси x и z принадлежат П
2
(фронтальная плоскость проекций), оси y и z
принадлежат П
3
(профильная плоскость проекций). Пространство делится плос-
костями проекций П
1
, П
2
и П
3
на восемь частей – октантов. Номера их показаны
на рис. 2.3.
Пусть точка А является точкой пространства, для которой мы хотим постро-
ить комплексный чертеж. Тогда, ортогонально проецируя точку А на П
1
, получим
точку А
1
. Действительно, точка А
1
принадлежит П
1
, ребро АА
1
перпендикулярно
плоскости П
1
, т. е. А
1
– ортогональная проекция точки А на плоскость П
1
. Точка
А
1
– горизонтальная проекция точки А. Ортогонально проецируя точку А на П
2
,
получим А
2
(фронтальная проекция точки А), ортогонально проецируя точку А
на П
3
, получим А
3
(профильная проекция точки А). Доказательство такое же, как
и для проекции А
1
. Обратим внимание на то, что при проецировании точки на две
плоскости проекций фигура AA
1
A
x
A
2
– прямоугольник, плоскость которого пер-
пендикулярна оси Ox.
Безразмерное число, по абсолютной величине равное расстоянию от точки А
до плоскости проекций и взятое со знаком, называется координатой точки. Так,
x
z
y
x
z
y
O
O
O
A
z
A
3
A
y
A
1
A
x
A
2
A
1
A
1
П
3
П
2
П
1
A
A
A
A
2
A
2
A
z
A
z
A
x
A
x
A
y
A
y
A
3
A
3
1
2
3
4
5
6
8
Р и с . 2 . 1
Р и с . 2 . 2 Р и с . 2 . 3 
      2.1. Комплексный чертеж точки

    Рассмотрим проецирование точки на три и две плоскости проекций. В про-
странстве зададим прямоугольный параллелепипед AA2AzA3A1AxOAy (рис. 2.1).
Свойства этой фигуры известны из курса геометрии средней школы: ребра, выхо-
дящие из одной вершины, перпендикулярны друг другу; каждая грань – прямо-

                                                     П2              z           П3
                                      z                              6
            Az                                                              5
                                      Az                             Az
 A2                        A2
                  A3                                      A2
              O                                 A3                   O          A3
                                        O
          A                                             2 1      A
                       x            A                                      Ay
 Ax                         Ax                  Ay    x    Ax
                  Ay                                                                     8
                                                y       3   4    A1
          A1                          A1                                             y
                                                                            П1

       Рис. 2.1                  Рис. 2.2                       Рис. 2.3
угольник; любое ребро параллельно трем ребрам и перпендикулярно восьми реб-
рам; параллельные ребра имеют одинаковую длину.
      Через ребра, выходящие из вершины O, проведем оси x, y, z (рис. 2.2). Сис-
тема Oxyz является декартовой системой координат (оси перпендикулярны, еди-
ница измерения одинакова по всем осям, точка O – начало координат).
      Через грани, проходящие через точку O, проведем плоскости П1, П2, П3 (рис.
2.3). Тогда оси x и y принадлежат плоскости П1 (горизонтальная плоскость про-
екций), оси x и z принадлежат П2 (фронтальная плоскость проекций), оси y и z
принадлежат П3 (профильная плоскость проекций). Пространство делится плос-
костями проекций П1, П2 и П3 на восемь частей – октантов. Номера их показаны
на рис. 2.3.
      Пусть точка А является точкой пространства, для которой мы хотим постро-
ить комплексный чертеж. Тогда, ортогонально проецируя точку А на П1, получим
точку А1. Действительно, точка А1 принадлежит П1, ребро АА1 перпендикулярно
плоскости П1, т. е. А1 – ортогональная проекция точки А на плоскость П1. Точка
А1 – горизонтальная проекция точки А. Ортогонально проецируя точку А на П2,
получим А2 (фронтальная проекция точки А), ортогонально проецируя точку А
на П3, получим А3 (профильная проекция точки А). Доказательство такое же, как
и для проекции А1. Обратим внимание на то, что при проецировании точки на две
плоскости проекций фигура AA1AxA2 – прямоугольник, плоскость которого пер-
пендикулярна оси Ox.
      Безразмерное число, по абсолютной величине равное расстоянию от точки А
до плоскости проекций и взятое со знаком, называется координатой точки. Так,

                                            8

Страницы