Начертательная геометрия. Ляшков А.А - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОмГТУ | Омск

Составители: 

Рубрика: 

81
5) определяем точки 1
2
=2
2
пересечения построенных окружностей.
Проекции других точек линии пересечения определяют аналогично.
На П
2
проекции видимого и невидимого участков линии пересечения совпа-
дут.
Примечание. Предложите решение этой задачи, используя второе семейство
окружностей на эллиптическом конусе (см. п. 12.5).
Пример 2. Построить проекции линии пересечения тора и конической по-
верхности вращения (рис. 12.18).
Решение. Исходные поверхности и их расположение удовлетворяют услови-
ям применимости способа концентрических и эксцентрических сфер. Промежу-
точные точки 1, 2, 3 и 4 построены способом концентрических сфер, а точки 5 и 6
– способом эксцентрических сфер.
Точки 5 и 6 построены по алгоритму, приведенному в примере 1. Окруж-
ность на торе выделена введением фронтально-проецирующей плоскости
Ω(Ω
2
).
Точки 1, 2, 3, 4 построены в следующей последовательности:
1)
построены проекции сферы Θ(Θ
1
, Θ
2
) с центром в точке О(О
1
,О
2
);
2) определены проекции окружности n(n
1,
n
2
), по которой сфера пересекает
коническую поверхность;
3) построены проекции окружностей m
1
и m
2
, по которым сфера пересекает
тор; сначала построены m
1
1
и m
2
1
, а затем m
1
2
и m
2
2
(показано стрелками);
4) пересечение проекций окружностей m и n задает проекции точек 1, 2, 3, 4.
Точки A, B, C, D, а также K, L, M, N являются опорными. Первые располо-
жены в пересечении очерковых образующих поверхностей, а вторые – на сфере
минимального радиуса (экстремальные).
12.5. Пересечение поверхностей второго порядка
В общем случае две поверхности второго
порядка пересекаются по пространственной
кривой четвертого порядка. Следует отметить,
что при некоторых особых положениях
относительно друг друга поверхности второго
порядка могут пересекаться по плоским
кривым второго порядка, то есть прост-
ранственная кривая пересечения распадается
на две плоские кривые. Условия распадения
кривой четвертого порядка на две
кривые
второго порядка формулируются в виде
следующих теорем.
Теорема 1. Если две поверхности второго
порядка пересекаются по одной плоской кри-
вой, то они пересекаются и еще по одной пло-
ской кривой. Иллюстрацией этой теоремы яв-
ляется рис. 12.19, на котором показаны фрон-
тальные проекции сферы и эллиптического конуса, пересекающихся по двум ок-
m
2
n
2
1
2
2
2
3
2
4
2
Ç
Р и с . 1 2 . 1 9 
       5) определяем точки 12=22 пересечения построенных окружностей.
       Проекции других точек линии пересечения определяют аналогично.
       На П2 проекции видимого и невидимого участков линии пересечения совпа-
дут.
     Примечание. Предложите решение этой задачи, используя второе семейство
окружностей на эллиптическом конусе (см. п. 12.5).
     Пример 2. Построить проекции линии пересечения тора и конической по-
верхности вращения (рис. 12.18).
     Решение. Исходные поверхности и их расположение удовлетворяют услови-
ям применимости способа концентрических и эксцентрических сфер. Промежу-
точные точки 1, 2, 3 и 4 построены способом концентрических сфер, а точки 5 и 6
– способом эксцентрических сфер.
     Точки 5 и 6 построены по алгоритму, приведенному в примере 1. Окруж-
ность на торе выделена введением фронтально-проецирующей плоскости Ω(Ω2).
     Точки 1, 2, 3, 4 построены в следующей последовательности:
     1) построены проекции сферы Θ(Θ1, Θ2) с центром в точке О(О1,О2);
     2) определены проекции окружности n(n1, n2), по которой сфера пересекает
коническую поверхность;
     3) построены проекции окружностей m1 и m2, по которым сфера пересекает
тор; сначала построены m11 и m21, а затем m12 и m22 (показано стрелками);
     4) пересечение проекций окружностей m и n задает проекции точек 1, 2, 3, 4.
     Точки A, B, C, D, а также K, L, M, N являются опорными. Первые располо-
жены в пересечении очерковых образующих поверхностей, а вторые – на сфере
минимального радиуса (экстремальные).

       12.5. Пересечение поверхностей второго порядка

     В общем случае две поверхности второго
порядка пересекаются по пространственной
кривой четвертого порядка. Следует отметить,                     12
что при некоторых особых положениях
относительно друг друга поверхности второго
порядка могут пересекаться по плоским                              n2 2
                                                                        2
кривым второго порядка, то есть прост-
ранственная кривая пересечения распадается
на две плоские кривые. Условия распадения         32      m2
                                                                    42
кривой четвертого порядка на две кривые
второго порядка формулируются в виде
следующих теорем.
     Теорема 1. Если две поверхности второго
порядка пересекаются по одной плоской кри-               Ç
вой, то они пересекаются и еще по одной пло-
ской кривой. Иллюстрацией этой теоремы яв-           Рис. 12.19
ляется рис. 12.19, на котором показаны фрон-
тальные проекции сферы и эллиптического конуса, пересекающихся по двум ок-

                                       81

Страницы