Начертательная геометрия. Ляшков А.А - 83 стр.

13. РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

  Определение. Если поверхность, представляемую в виде тонкой, гибкой и не-
растяжимой пленки, можно путем изгибания совместить с плоскостью без разры-
вов и складок, то поверхность, обладающая этим свойством, называется развер-
тывающейся, а фигура, полученная в результате совмещения поверхности с плос-
костью, называется разверткой. В математике доказано, что к развертывающимся
относятся лишь три группы линейчатых поверхностей: конические, цилиндриче-
ские и торсовые (поверхности касательных к пространственной кривой). У этих
поверхностей вдоль каждой прямолинейной образующей существует единствен-
ная касательная плоскость, у остальных линейчатых поверхностей вдоль обра-
зующей прямой существует бесконечное множество таких плоскостей. Изгибание
поверхности на плоскость приводит к соответствию, устанавливаемому между
множеством точек поверхности и множеством точек ее развертки. Это соответст-
вие обладает следующими свойствами:
   1) точке поверхности соответствует единственная точка развертки и наоборот;
   2) длины соответственных линий поверхности и ее развертки равны;
   3) углы, образованные линиями на поверхности, равны углам, образованным
соответствующими линиями на развертке;
   4) площади соответственных фигур на поверхности и на развертке равны.
   Из приведенных свойств вытекают следствия:
   1) прямая линия поверхности преобразуется в прямую линию развертки;
   2) параллельные линии поверхности преобразуются в параллельные прямые ее
развертки.
   Для развертывающихся линейчатых поверхностей строятся графически при-
ближенные развертки, поскольку в процессе построения развертки эти поверхно-
сти заменяются (аппроксимируются) вписанными или описанными многогран-
ными поверхностями. Точные развертки аппроксимирующих многогранных по-
верхностей принимаются за приближенные развертки развертывающихся по-
верхностей. Для поверхностей, которые не являются развертывающимися, стро-
ятся условные развертки по следующей схеме:
   НП ⇒ РП ⇒ ГП ∼ ТР, где НП – неразвертывающая поверхность, РП – развер-
тывающаяся поверхность, ГП – гранная поверхность, ТР – точная развертка,
⇒ – этап аппроксимации предыдущей поверхности последующей. Поскольку в
результате последовательных аппроксимаций исходная поверхность заменяется
гранной, то рассмотрим вначале построения точных разверток гранных поверх-
ностей.

          13.1. Развертки гранных поверхностей

   Определение. Разверткой гранной поверхности называется множество соеди-
ненных в плоскости многоугольников, конгруэнтных (равных) соответственно ее
граням. Под соединением понимается последовательное размещение много-
угольников развертки, которое соответствует последовательному расположению
граней поверхности.

                                      83