Начертательная геометрия. Ляшков А.А - 95 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОмГТУ | Омск

Составители: 

Рубрика: 

95
можно найти аксонометрические координаты точки A' (x
A
';y
A
';z
A
'): x
A
'
= x
A
u; y
A
' =
= y
A
v; y
A
'
= y
A
w. Для коэффициентов искажения справедлива зависимость
u
2
+ v
2
+ w
2
= 2, (14.1)
которую принимаем без доказательства.
Поскольку проекции фигуры на параллельные плоскости равны, то вместо П'
(рис. 14.1) можно взять любую плоскость ей параллельную. Для повышения на-
глядности ортогональных аксонометрических проекций положительные полуоси
осей x, y, z располагают в одном полупространстве относительно аксонометриче-
ской плоскости, проведенной через начало координат (рис. 14.1, точка O). При
этом углы
α, β, γ будут более нуля, но менее девяноста градусов. Тогда коэффи-
циенты u, v, w (косинусы этих углов) будут менее единицы, но более нуля.
Если известны коэффициенты искажения u, v, w, то легко найти углы
α, β, γ
(
α = arcos u, β = arcos v, γ = arcos w). Зная коэффициенты искажения u, v, w и оп-
ределив по ним углы
α, β, γ, можно найти углы между аксонометрическими ося-
ми. Формула (1.1) для расчета проекции угла, которая при проецировании прямо-
го угла (
ϕ = 90
0
) на плоскость П'
(ϕ
1
= ϕ ') имеет вид
cos
ϕ '
= – tgα⋅tgβ. (14.2)
Например, угол между осями x и y равен 90
°, т.е. (x,y) = 90°, он проецируется на
плоскость П'
в угол между осями x'
и y'. По формуле (14.2) cos(x',y')
= – tgα⋅tgβ,
где
α – угол между x и x'
, β – угол между y и y'. По величине косинуса найдем
угол между аксонометрическими осями x'
и y'. Аналогично можно найти и два
других угла.
Обратим внимание на то, что углы между аксонометрическими осями более
90
°
(тупые), т.е. прямые углы между осями проецируются в тупые углы между
аксонометрическими осями. Действительно, в формуле (14.2) тангенсы острых
углов более нуля, значит, косинус проекции угла отрицателен, т.е. проекция угла
более 90
°.
Рассмотрим построение аксонометрической проекции точки A по комплекс-
ному чертежу этой точки (рис. 14.2). Пусть на аксонометрической плоскости П'
известно положение осей x', y', z' и известны коэффициенты искажения по этим
x
O
x ' ( u )
y ' ( v )
z ' ( w )
O '
A '
A
x
'
A
1
'
A
2
z
A
x
A
y
A
A
1
x
A
y
A
A
x
z
A
⋅
u
⋅
v
⋅
w
Р и с . 1 4 . 2 Р и с . 1 4 . 3 
можно найти аксонометрические координаты точки A' (xA';yA';zA'): xA' = xAu; yA' =
= yAv; yA' = yAw. Для коэффициентов искажения справедлива зависимость
                                u2 + v2 + w2 = 2,                           (14.1)
которую принимаем без доказательства.
     Поскольку проекции фигуры на параллельные плоскости равны, то вместо П'
(рис. 14.1) можно взять любую плоскость ей параллельную. Для повышения на-
глядности ортогональных аксонометрических проекций положительные полуоси
осей x, y, z располагают в одном полупространстве относительно аксонометриче-
ской плоскости, проведенной через начало координат (рис. 14.1, точка O). При
этом углы α, β, γ будут более нуля, но менее девяноста градусов. Тогда коэффи-
циенты u, v, w (косинусы этих углов) будут менее единицы, но более нуля.
     Если известны коэффициенты искажения u, v, w, то легко найти углы α, β, γ
(α = arcos u, β = arcos v, γ = arcos w). Зная коэффициенты искажения u, v, w и оп-
ределив по ним углы α, β, γ, можно найти углы между аксонометрическими ося-
ми. Формула (1.1) для расчета проекции угла, которая при проецировании прямо-
го угла (ϕ = 900) на плоскость П' (ϕ1 = ϕ ') имеет вид
                              cosϕ ' = – tgα⋅tgβ.                          (14.2)
Например, угол между осями x и y равен 90°, т.е. (x,y) = 90°, он проецируется на
плоскость П' в угол между осями x' и y'. По формуле (14.2) cos(x',y') = – tgα⋅tgβ,
где α – угол между x и x' , β – угол между y и y'. По величине косинуса найдем
угол между аксонометрическими осями x' и y'. Аналогично можно найти и два
других угла.
     Обратим внимание на то, что углы между аксонометрическими осями более
90° (тупые), т.е. прямые углы между осями проецируются в тупые углы между
аксонометрическими осями. Действительно, в формуле (14.2) тангенсы острых
углов более нуля, значит, косинус проекции угла отрицателен, т.е. проекция угла
более 90°.
     Рассмотрим построение аксонометрической проекции точки A по комплекс-
ному чертежу этой точки (рис. 14.2). Пусть на аксонометрической плоскости П'
известно положение осей x', y', z' и известны коэффициенты искажения по этим
                      A2                                              z'(w)
          zA
                                                 xA ⋅ u

      x                         O                                O'       A'
                 Ax
                                                          Ax '
                                xA                                             y'(v)
          yA                                   x'(u)
                                                       yA ⋅ v                  zA ⋅ w
                      A1                                               A1 '

                 Рис. 14.2                                       Рис.14.3

                                       95

Страницы