Теоретические основы теплотехники. Ляшков В.И. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Аналогичный анализ уравнения первого закона термодинамики, записанного через энтальпию, позволяет расширить
физический смысл теплоемкости
с
р
, записав, что c
p
= (∂h/∂T)
p
.
Приравниваем правые части формул (1.20) и (1.21) (с учетом полученного выше значения производной) и выразим
величину
с:
dT
dv
p
v
u
cc
T
v
+
∂
∂
+=
. (1.22)
Значение производной (
∂u/∂v)
T
найдем, записав первый закон термодинамики (формулу (1.5)) для процесса при T = const
(при этом все дифференциалы станут частными):
vdpsdTud
TTT
−
=
,
откуда
p
v
s
T
v
u
TT
−
∂
∂
=
∂
∂
.
Если в последней формуле производную (
∂s/dv)
Т
заменим по дифференциальному соотношению величиной (∂p/∂T)
v
, то
получим
p
T
p
T
v
u
vT
−
∂
∂
=
∂
∂
.
Подставим теперь это значение в формулу (1.22) и после простейших преобразований получим важную формулу,
которая позволяет определить теплоемкость любого процесса через табличную теплоемкость
с
v
, характеристики газа
(производная (
∂p/∂T)
v
) и особенности процесса (производная dv/dT):
dT
dv
T
p
Tcc
v
v
∂
∂
+=
. (1.23)
Для процесса при
p = const, например, эта формула принимает вид
pv
vp
T
v
T
p
Tcc
∂
∂
∂
∂
+=
.
1.1.12 Уравнение Майера и другие свойства идеального газа
Многие великие истины были вначале кощунством
Б. Шоу
В
ыражая значения р и v из уравнения состояния идеального газа и дифференцируя эти выражения, найдем значения
производных, входящих в предыдущую формулу:
v
RT
p = ; 1⋅=
∂
∂
v
R
T
p
v
;
p
RT
v =
; 1⋅=
∂
∂
p
R
T
v
p
.
Подставляя в нее полученные значения, находим
RcpRvRTcc
vvp
+=+= )/()/(
.
Связь между
с
p
и с
v
для идеального газа и называют уравнением Майера, отмечая тем самым большой вклад этого
ученого в развитие термодинамики.
Покажем далее, что внутренняя энергия (как и другие характеристические функции) идеального газа зависит только от
температуры. Ранее мы показали, что
p
T
p
T
v
u
vT
−
∂
∂
=
∂
∂
и
v
R
T
p
v
=
∂
∂
.
Значит (∂u/∂v)
T
= T(R/v) – p = 0, т.е. u не зависит от v. Далее, записав
00 =
∂
∂
⋅=
∂∂
∂∂
=
∂
∂
T
T
T
p
v
pv
vu
p
u
,
убеждаемся, что u не зависит и от р, поскольку (∂v/∂p)
T
не равно бесконечности.
Таким образом мы убеждаемся, что
u = f (Т).
Формула (1.21) с учетом равенства нулю производной (
∂u/∂T)
v
для идеального газа дает простое соотношение
du = c
v
dT.
Мы показали, что с
v
= (∂u/∂T)
v
, а с учетом зависимости u = f (Т) это дает c
v
= f (T), т.е. теплоемкость с
v
идеального газа
зависит тоже только от температуры и не зависит от других параметров.
Аналогичный анализ, проводимый с уравнением первого закона термодинамики, записанным через
h (формула (1.12)),
позволяет получить зависимости:
h = f (T); c
p
= f (T); dh = c
p
dT.
1.1.13 Формулы для вычисления энтропии

Страницы