Теоретические основы теплотехники. Ляшков В.И. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

ρ= ddpc /
2
.
Из формулы видно, что скорость импульса давления зависит как от свойств и состояния газа dρ, так и от формы и частоты
импульсов dp.
Наиболее простые условия возникают, когда колебания газа малы, ∆p << p. Такие колебания в термодинамике называют
звуковыми. Они распространяются практически без внутреннего трения, и поэтому процесс распространения звуковых
колебаний можно считать изоэнтропным. Тогда скорость распространения таких колебаний – скорость звука, а в газе –
определится частной производной
s
p
a
ρ∂
∂
=
2
.
Значение этой производной легко найдем, воспользовавшись уравнением адиабаты pv
k
= const и заменяя в нем v на 1/ρ:
p
ρ
– k
= const. Последовательное логарифмирование и дифференцирование этой формулы позволяет получить
constlnlnln
=
ρ
− kp и .//
ρ
ρ
=
dkpdp
Отсюда kpvkpp
s
=ρ=ρ∂∂ /)/( и значит
kRTkpva ==
.
Из формулы видно, что скорость звука в газе зависит от вида и состояния газа, но не зависит от частоты колебаний.
Естественно, что колебания давления могут возникать и в движущемся по каналу газе. При этом, если волновые
колебания распространяются по направлению движения газа, то скорость их равняется сумме
скоростей
aw +
(или
cw +
). Если же колебания давления возникают в устье канала и распространяются в направлении,
противоположном движению потока, то распространяться они будут со скоростью
wa
−
, и чем выше скорость потока, тем
больше импульс давления будет сноситься назад, тем с меньшей скоростью будет распространяться он вверх по потоку.
Сложная ситуация возникает, когда скорость потока возрастает до скорости звука. При этом всякая информация о
дальнейшем уменьшении давления
p
2
не может проникнуть в канал, а значит и как-то повлиять на скорость газа. Такой поток
называют слепым, а течение – критическим. Соответственно отмечают и параметры газа
p
кр
, v
кр
, T
кр
, h
кр
, s
кр
, (не путать с
параметрами критического состояния вещества!).
В заключение сформулируем вывод: за счет перепада давлений в равномерных каналах газ можно разогнать только до
скорости звука, добиться сверхкритических скоростей невозможно.
1.4.5 Связь между скоростью импульса и скоростью звука
Ищите и найдете; стучите и отворят вам
Евангелие от Матфея
П
ри больших амплитудах колебаний давления (а следовательно и микрообъемов газа) в результате трения выделяется тепло, и
это приводит к изменению параметров газа, а значит и скорости распространения импульсов.
Чтобы установить связь между
с и а, на основании уравнения состояния запишем
),(),(
ρ
=
=
sfvsfp
Полный дифференциал такой функции будет
ρρ∂∂+
∂
∂
=
ρ
dpdsspdp
s
)/()/( . (1.37)
Производную
ρ
∂∂ )/( sp заменим, воспользовавшись одним из дифференциальных соотношений, а также используем
следующие формулы:
;
sv
v
T
s
p
s
p
∂
∂
−=
∂
∂
=
∂
∂
ρ
;
тр
T
dq
ds =
;
2
a
p
s
=
ρ∂
∂
2
c
d
dp
=
ρ
.
Производную
s
vT )/( ∂∂ найдем, записав уравнение адиабаты в другой форме Tv
k – 1
= const, и последовательно
логарифмируя и дифференцируя эту формулу
constlnln)(ln
=
−+ vkT 1 ; 01
=
−
+
vvdkTTd
ss
/)(/ .
Отсюда получаем
v
T
k
v
T
vd
Td
s
s
s
)(1−−=
∂
∂
=
.
Если теперь подставить приведенные выше выражения в формулу (1.37), то она принимает вид
ρ
−+=
dv
dq
kac
тр
)(1
22
.
Количество тепла, выделяющееся за счет трения всегда невелико и это не приводит к сколько-нибудь заметному
изменению температуры газа. Поэтому процесс распространения колебаний давления можно считать одновременно и
изотермическим. В этом случае для идеального газа первый закон термодинамики принимает вид
dvpdq −=
тр
0
,
откуда следует (поскольку
0>
тр
dq
), что при течении газа с трением 0>dv . Но
2
1 ρρ−=ρ= /)/( dddv , и значит при этом
0<ρd . Отмечая, что все остальные члены полученной выше формулы для c
2
, а также величина (
1
−k
), положительны,

Страницы