Теоретические основы теплотехники. Ляшков В.И. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Выделим мысленно внутри однородного твердого тела, передающего тепло,
элементарно малый параллелепипед со сторонами (dx, dy и dz (см. рис. 2.4) и запишем
выражение первого закона термодинамики для процесса теплопроводности,
протекающего в течение элементарно малого промежутка времени dτ:
dLdQdU
*
−= .
Здесь dU – изменение внутренней энергии в выделенном объеме; dQ
*
– количество
тепла, вносимого в объем теплопроводностью; dL – работа, совершаемая элементом
против внешних сил. Отметим, что
dL = pd (dV) = 0, )( dzdydxdV
=
,
поскольку дифференциал бесконечно малой величины есть величина бесконечно
малая величина второго порядка малости и ею можно пренебрегать. Тогда
предыдущая формула упрощается:
dU = dQ
*
. (2.2)
Из термодинамики известно, что
τ
∂τ
∂
ρ==
τ
d
t
dVctddmcdU . (2.3)
Величину dQ
*
представим тремя слагаемыми
****
zyx
dQdQdQdQ ++= , (2.4)
и более подробно рассмотрим лишь составляющую по направлению х. Если через q
x
и q
x + dx
обозначим удельные тепловые
потоки, направленные по оси х, первый из которых входит в элемент, а второй – выходит из него (см. рис. 2.4), то количество
тепла, накапливающееся в выделенном объеме по направлению х, будет:
.)(
*
τ−=τ−τ=
++
ddzdyqqddzdyqddzdyqdQ
dxxxdxxxx
(2.5)
Поскольку функция q
x
= f (x) непрерывна (для распространения тепла нет препятствий), то связь между предыдущим
значением функции и ее последующим значением определяется известной формулой Тейлора
....
!!
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+=
+
3
3
3
2
2
2
3
1
2
1
dx
x
q
dx
x
q
dx
x
q
qq
xxx
xdxx
Всеми слагаемыми ряда, начиная с третьего, можно пренебрегать как величинами более высоких порядков малости.
Тогда формулу (2.5) можно переписать:
τ
∂
∂
−=τ
∂
∂
−= ddV
x
q
ddzdydx
x
q
dQ
xx
*
.
Аналогичные рассуждения, если рассмотреть направления у и z, позволяют получить аналогичные по структуре выражения
для
*
y
dQ
и
*
z
dQ . Тогда формула (2.4) может быть представлена так:
τ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−= ddV
z
q
y
q
x
q
dQ
z
y
x
*
. (2.6)
Сумму частных производных проекций вектора, выделенную скобками, называют дивергенцией вектора и обозначают
словом div. Поэтому предыдущее выражение часто записывают по другому:
dQ
*
= –divq – dV dτ. (2.7)
Воспользуемся теперь законом Фурье, который в проекциях на координатные оси дает
x
t
x,
ˆ
n
n
t
q
x
∂
∂
λ−
∂
∂
λ−= =)cos(
,
y
t
q
y
∂
∂
λ−=
,
z
t
q
z
∂
∂
λ−=
.
Подставим эти выражения в формулу (2.6)
.
*
τ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
λ=
=τ
∂
∂
λ−
∂
∂
+
∂
∂
λ−
∂
∂
+
∂
∂
λ−
∂
∂
−=
ddV
z
t
y
t
x
t
ddV
z
t
zy
t
yx
t
x
dQ
2
2
2
2
2
2
(2.8)
Подставим теперь в формулу (2.2) значения dU и dQ
*
по формулам (2.3) и (2.8), соответственно. После сокращения
получаем
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
λ=
τ∂
∂
ρ
2
2
2
2
2
2
z
t
y
t
x
tt
c
или окончательно
.
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ρ
λ
=
τ∂
∂
2
2
2
2
2
2
z
t
y
t
x
t
c
t
(2.9)
q
x
dy
dz
x
y
z
q
x+dx
q
dx
Рис. 2.4 Теплопроводность
элементарного объема

Страницы