Теоретические основы теплотехники. Ляшков В.И. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Если преобразовать формулу (2.7), то дифференциальное уравнение теплопроводности можно получить в виде
) grad(div t
c
t
λ
ρ
=
∂τ
∂
1
. (2.10)
Это более общая запись, в ней не предполагается, как это сделано при выводе формулы (2.9), что λ = const.
Сумму вторых частных производных скалярной величины по направлениям координатных осей называют оператором
Лапласа и обозначают для краткости символами ∇
2
. Множитель ),/(
ρ
λ
с составлен из физконстант и представляет собою
некоторую обобщенную физконстанту, характеризующую способность тел проводить тепло и одновременно
аккумулировать его (при нагреве). Эту характеристику называют коэффициентом температуропроводности
а:
a = λ / (сρ),
поскольку его величина определяет и скорость изменения температуры в любой фиксированной точке тела. Коэффициент а
имеет важное значение только для нестационарных процессов.
В итоге дифференциальное уравнение теплопроводности записывается очень компактно:
./ tat
2
∇=∂τ∂
Это уравнение описывает связь между изменением температуры в пространстве (правая часть) и по времени (левая часть) в
окрестностях любой точки внутри тела и представляет основу для решения всего класса задач теплопроводности. Часто это
уравнение называют дифференциальным уравнением Фурье.
2.2.3 Условия однозначности в задачах теплопроводности
Прежде чем найти решение, надо сделать
целый ряд расчетов самого различного свойства
Д. Родари
ак и любое дифференциальное уравнение, уравнение Фурье имеет бесконечное множество решений. Чтобы из этого
множества выбрать решение конкретной задачи, нужно при интегрировании уравнения учитывать и использовать для
определения произвольных постоянных математическое описание особенностей этого конкретного случая. Такое описание
особенностей конкретной задачи называют условиями однозначности или (менее удачно) краевыми условиями.
При выводе дифференциального уравнения теплопроводности при выделении объекта исследования (элементарно малый
объем внутри тела) мы исключили большое количество информации, важной для конкретных задач. Условия однозначности
призваны вернуть утраты и должны содержать следующую информацию:
– о форме и размерах тела (геометрические условия);
– о физических свойствах вещества, включая численные значения теплофизических коэффициентов λ,
с, р и др.
(физические условия);
– о распределении температуры в теле в начальный момент времени, т.е. нужно знать температурное поле при τ = 0
(начальные условия):
t
0
= f (x, y, z). В простейшем случае t
0
= const и задается численное значение этой константы;
– об условиях теплообмена на границе между телом и средой, т.е. об условиях на поверхности тела (граничные
условия).
Граничные условия можно задать разными способами. Когда задают температуру на поверхности тела,
t
п
= f (x
п
, y
п
, z
п
, τ),
то это называют заданием граничных условий первого рода (ГУ-1). В простейшем случае считается t
п
= const и
задается значение
t
п
.
При граничных условиях второго рода (ГУ-2) задают удельный тепловой поток на поверхности тела: q
п
= f (x
п
, y
п
, z
п
, τ).
В простейшем случае принимают
q
п
= const.
Чаще всего известны температура окружающей тело жидкой или газообразной среды и величина коэффициента
теплоотдачи α, характеризующая интенсивность теплообмена на поверхности тела. Тогда говорят, что заданы ГУ-3 (см. рис.
2.5). Отметим, что при любой форме поверхности весь тепловой поток, передаваемый теплоотдачей передается
теплопроводностью через элементарно тонкий слой на поверхности тела. Поэтому можно записать следующее
теплобалансовое уравнение
αλ
=
qq
или, воспользовавшись законами Ньютона-Рихмана и Фурье,
.)(
жс
0
=
∂
∂
λ−=−α
n
n
t
tt
(2.11)
Формула (2.11) в дифференциальной форме описывает связь между t
c
и t
ж
и во многих случаях (когда удается
рассчитать значение производной) позволяет перейти от ГУ-3 к ГУ-1.
При ГУ-4 также задаются температурные характеристики окружающей тело среды, но эта среда, в отличие от
предыдущего случая, тоже является твердым телом (схема ГУ-4 показана на рис. 2.6). Тепло-
К

Страницы