Теоретические основы теплотехники. Ляшков В.И. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

обмен здесь происходит в результате непосредственного контакта поверхностей, а внутри среды –
тоже теплопроводностью. Уравнение теплового баланса в этом случае будет
q
т
= q
ср
или
00 ==
∂
∂
λ
=
∂
∂
λ
nn
ntnt )/()/(
срср
.
При ГУ-4 величины λ, λ
ср
и
0=
∂∂
n
nt )/(
cp
считаются известными, и это позволяет найти
значение производной
0=
∂
∂
n
nt )/( . Другими словами, в этом случае задается (правда
опосредствованно) величина производной
0=
∂
∂
n
nt )/( на поверхности тела. Дополнительным, но
необязательным условием является равенство температур в точках теплового контакта тела со
средой, если этот контакт идеальный. Если же из-за микронеровностей, зазоров или
недостаточного прижатия поверхностей нет идеального контакта, то возникает дополнительное контактное термическое
сопротивление и это приводит к скачку температуры в зоне контакта. Величина контактных сопротивлений зависит от
многих факторов (прежде всего от качества механического контакта) и определяется опытным путем.
2.2.4 Стационарная теплопроводность плоской стенки при ГУ-1
ешение отдельных задач теплопроводности логично начинать со стационарных процессов и для тел простейшей формы,
поскольку такие тела и режимы чаще всего встречаются на практике, а сами эти решения, если принимать
незначительные упрощающие предположения, получаются достаточно простыми.
Рассмотрим неограниченную плоскую стенку, температуры
t
cl
и t
c2
на поверхности которой известны и неизменны в
пространстве и во времени (см. рис. 2.7). На практике к неограниченным можно относить пластины, толщина которых хотя
бы в 10 раз меньше ее ширины, не говоря уже о длине. У таких стенок теплообменом с боковых
граней можно пренебрегать и считать, что все тепло передается только перпендикулярно
фронтальным поверхностям. Изотермические поверхности при этом имеют вид плоскостей,
параллельных фронтальным, а температура будет изменяться только по толщине стенки, т.е. поле
будет одномерным:
t = f (x). Дифференциальное уравнение теплопроводности в этом случае
принимает вид (поскольку ∂
t /∂τ = 0)
,
2
2
0
dx
td
a=
откуда получаем простое дифференциальное уравнение второго порядка
d
2
t / dx
2
= 0.
Чтобы проинтегрировать его, введем новую переменную u = dt/dx и перепишем так
du /dx = 0.
Интегралом последнего уравнения может быть любая константа, ибо только производная константы равна нулю.
Значит
и = С или dt / dx = C. Чтобы решить это дифференциальное уравнение, разнесем переменные и
проинтегрируем правую и левую части полученного уравнения:
dt = C/dx, t = C
1
x + C
2
. (2.12)
Здесь C
2
– вторая произвольная постоянная интегрирования.
Нами получено общее решение (2.12), описывающее бесконечное множество решений, различающихся значениями
C
1
и
C
2
. Константы интегрирования найдем, воспользовавшись граничными условиями: на левой поверхности (при x = 0) t = t
c1
и
формула (2.12) принимает вид
t
cl
= C
1
⋅0 + C
2
,
откуда C
2
= t
c1
. На правой поверхности (при х = δ) t = t
c2
и по (2.12) можно записать
t
c2
= C
1
δ + C
2
= C
1
δ + t
cl
,
откуда
C
1
= (t
cl
– t
c2
) / δ.
Формулу (2.12) перепишем с учетом полученных значений C
1
и C
2
:
t = t
cl
– [( t
cl
– t
c2
) / δ] x. (2.13)
Мы получили аналитическое выражение для температурного поля внутри стенки. Это позволяет достаточно просто найти и
передаваемый тепловой поток. Действительно, запишем формулу закона Фурье
q = –λ (dt / dx)
и подставим сюда значение производной, продифференцировав предварительно формулу (2.13):
q = λ (t
cl
– t
c2
) / δ = (t
cl
– t
c2
) / (δ/λ). (2.14)
Величину δ/λ принято называть термическим сопротивлением теплопроводности плоской стенки.
Из формул (2.12) или (2.13) видно, что внутри стенки температура меняется по линейному закону. Правда, будет это
лишь при λ
= const. Если же зависимостью λ = f (t) пренебрегать нельзя, то вид температурного поля изменится, оно будет
нелинейным (см. рис. 2.7). Это становится понятным, если учитывать, что у неограниченной стенки величина
q не зависит от
x (q = const) и значит во сколько раз при изменении х и t увеличилась, например, величина λ, во столько же раз должна
уменьшиться величина производной
dt / dx в этой точке.
2.2.5 Стационарная теплопроводность плоской стенки при ГУ-3
q
тело среда
Рис. 2.6 Схема
ГУ-4
Р
x
δ
t
c1
t
c2
t
q
Рис. 2.7 Плоская
стенка при ГУ-1

Страницы