Руководство к решению задач по теории вероятностей. Маценко П.К - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

64
Пример 3.
Случайная величина Х распределена равномерно в ин-
тервале (3; 5). Найти закон распределения случайной величины
.82 −= XY
Решение. Выписываем плотность распределения случайной величи-
ны Х
5,0)( =xf при 0)(;)5;3( =∈ xfx при ).5;
3
(
∉x (10.8)
Далее используем формулу (10.2). Так как y=2x+8, то x=(y+8)/2. Значит,
,2
/
1)
(
'
,2/)8()( =+= yyy
ψ
ψ
и формула (10.2) в н ашем случае примет
вид
.
5,0)2/
)
8
(()( ⋅+= yfyg (10.9)
Условие:(y+8)/2
∈ (3; 5) равносильно условию:y∈(-2; 2). Значит, с
учетом формулы (10.8) f((y+8)/2)= 0,5 при y
∈(-2; 2), f((y+8)/2)= 0
при y
∉(-2; 2), и формула (10.9) примет вид: g(y)= 1/4 при y∈(-2; 2),
g(y)= 0 при y
∉(-2; 2).
Ответ: g(y)= 1/4 при y
∈(-2; 2), g(y)= 0 при y∉(-2; 2).
Пример 4.
Случайная величина Х распределена равномерно в ин-
тервале
).2;0(
π
Найти плотность распределения случайной величины
.cos XY =
Решение. Выписываем плотность распределения случайной величи-
ны Х
π
/5,0)( =xf при 0)(;)2;0( =∈ xfx
при
)
.2;
0
(
π
∉x
Из уравнения xy cos= найдем обратную функцию х=
ψ
(y). Так как в ин-
тервале (0; 2
π) функция xy
c
os= не монотонна, разобьем этот интер-
вал на интервалы (0;
π) и (π;2π), в которых функция
xy cos= монотонна. В интервале (0; π) обратная функция имеет
вид
yy arccos)(
1
=
ψ
, в интервале (π ;2π) .arccos2)(
2
yy −=
ψ
Искомая плотность распределения g(y) в соответствии с (10.3) на-
ходится по формуле
.|)('|))((|)('|))(()(
2211
yyfyyfyg
ψ
ψ
ψ
ψ
+= (10.10)
Учитывая, что
,
/
5,0
)
(
π
=xf находим == ))((,/5,0)(
21
yff
ψ
ψ
0,5/π .
Далее находим
,
1
1
)'arccos2()(',
1
1
)(arccos)('
2
2
2
'
1
y
yy
y
yy
−
=−=
−
−==
πψ
ψ
.1/1|)('||)('|
2
21
yyy −==
ψψ
Условия:
1
ψ
(y) ∈ (0;π),
2
ψ
(y) ∈ (π;2π) равносильны условию
y
∈(-1; 1). Подставляем все данные в формулу (10.10), получаем для

Страницы