Математическая культура. Мациевский С.В. - 58 стр.

                       § 2. Крестики-нолики
                                         Игру нельзя отрицать (никто не скажет,
                                         что игра — искусственное понятие).
                                                 Йохан Хейзинга. Homo Ludens.
                        п. 1. Крестики-нолики
    Исследуем известную игру крестики-нолики. Правила следующие::
1) играют на доске 3 × 3; 2) ходят по очереди: 1-й игрок ставит крестик на
любое свободное поле, 2-й игрок — нолик; 3) выигрывает тот, кто первым
поставит в ряд 3 своих значка (по вертикали, горизонтали или диагонали).
    Исследование будем проводить перебором позиций, получающихся
при ходах противников. Поскольку у игрового поля 3 × 3 имеются
4 оси зеркальной симметрии (см. рис.), то позиции, получающие-
ся друг из друга зеркальным отражением относительно либо од-
ной, либо двух осей подряд будем считать идентичными.
    Это означает, что первый игрок может поставить первый крестик только
на три различных поля (см. рис.), т.к. остальные 6 по-
                                                                 ×       ×
лей получаются из этих трех зеркальным отражением          ×
относительно одной из осей симметрии, т.е. эти 6 по-
лей эквивалентны одному из трех нарисованных.
    Задание 1. Нарисуйте оси симметрии для каждого из этих крестиков,
относительно которых получаются из них остальные 6 крестиков.
    Покажем, что если первый игрок поставил первый крестик в центр по-
ля, а второй игрок поставил первый нолик на середину любой стороны, то
второй игрок форсированно проигрывает (если, конечно, первый игрок не
поддается, а играет правильно). Пусть второй игрок поставил нолик на се-
редину левой стороны. Достаточно рассмотреть этот случай, т.к. остальные
3 случая (второй игрок ставит нолик на середину других сторон) эквива-
лентны этому (получаются из него зеркальной симметрией). Тогда выиг-
рышная партия первого                 ×       ×        ×     × ×   × × × ×
игрока показана слева. ο ×            ο ×     ο ×      ο ×     ο ×   ο ×
Этот выигрыш форсиро-                              ο         ο ο   ο ο     ο
ван, т.к. первый игрок вы-
игрывает независимо от ходов второго игрока.
    Задание 2. Сколько всего разных ноликов — с учетом симметрии — мо-
жет поставить второй игрок в ответ на каждый из трех первых ходов первого
игрока? Нарисуйте все эти разные ответы второго игрока, а также остальные
эквивалентные ответы с осями симметрии. Какие из этих ответов приводят к
форсированному проигрышу второго игрока? Докажите.
    Существуют игры-гибриды тетриса и крестиков-ноликов: это все цвет-
ные тетрисы, где пропадают ряды из 3 и более элементов одного цвета
(Columns, Tetcolor и другие).

                                    57