Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

8.3. Обратная матрица. Матричные уравнения (задача 3) 103
стоящего в i-й строке и j-м столбце матрицы A, разделить его на
определитель этой матрицы). Находим алгебраические дополнения
всех элементов матрицы A, т.е. элементы присоединённой матрицы.
A
1
1
=
−6 2
−5 −1
= 16; A
2
1
= −
−4 5
−5 −1
= −29; A
3
1
=
−4 5
−6 2
= 22;
A
1
2
= −
4 2
3 −1
= 10; A
2
2
=
3 5
3 −1
= −18; A
3
2
= −
3 5
4 2
= 14;
A
1
3
=
4 −6
3 −5
= −2; A
2
3
= −
3 −4
3 −5
= 3; A
3
3
=
3 −4
4 −6
= −2.
Алгебраические дополнения элементов строк мы записали в столб-
цы. Поделив найденные элементы присоединённой матрицы на опре-
делитель det A, получим A
−1
=
"
−8 29/2 −11
−5 9 −7
1 −3/2 1
#
.
Проверить результаты можно, найдя произведение A ·A
−1
.
Должна получиться единичная матрица E.
Проверка.
"
3 −4 5
4 −6 2
3 −5 −1
#
·
"
−8 29/2 −11
−5 9 −7
1 −3/2 1
#
=
=
"
−24 + 20 + 5 87/2 − 36 − 15/2 −33 + 28 + 5
−32 + 30 + 2 58 − 54 − 3 −44 + 42 + 2
−24 + 25 − 1 87/2 − 45 + 3/2 −33 + 35 −1
#
=
=
"
1 0 0
0 1 0
0 0 1
#
. Обратная матрица найдена верно.
8.3.2. Решите матричное уравнение
"
2 −3 1
−3 2 −1
1 −2 3
#
· X = 12 ·
"
1 2 0
0 1 2
2 0 1
#
.
Решение.
Обозначим A =
"
2 −3 1
−3 2 −1
1 −2 3
#
, B = 12 ·
"
1 2 0
0 1 2
2 0 1
#
. Тогда дан-
ное уравнение можно записать в виде AX = B. Вычисляем:
det A =
"
2 −3 1
−3 2 −1
1 −2 3
#
=
"
2 −3 1
−1 −1 0
−5 7 0
#
=
= 1 · (−1)
1+3
·
−1 −1
−5 7
= −12.

Страницы