ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
8.4. Ранг матрицы (задача 4) 107
8.3.8. Решите матричные уравнения: AX
1
= B и X
2
· A = B, если
A =
1 3
2 5
, B =
4 −1
3 2
.
Ответ. X
1
=
−11 11
5 −4
, X
2
=
−22 13
−11 7
.
8.3.9. Решите матричные уравнения:
а)
"
2 7 3
3 9 4
1 5 3
#
·X = 3
"
1 2
1 1
3 4
#
; б) X ·
"
2 7 3
3 9 4
1 5 3
#
= 3
1 2 1
3 1 4
.
Ответ. а)
"
−4 −12
−1 3
6 3
#
; б)
−3 3 0
−40 27 8
.
8.4. Ранг матрицы (задача 4)
Необходимо изучить подразделы 3.2 — 3.6 и знать определения
понятий линейной комбинации векторов, линейно зависимой и ли-
нейно независимой систем векторов, а также ранга матрицы. Очень
важна теорема о базисном миноре и её следствия.
8.4.1. Докажите, что третья строка матрицы A =
"
1 −2 4
3 1 5
−5 −4 −6
#
является линейной комбинацией первых двух. Найдите коэффици-
енты этой линейной комбинации.
Решение. Ранг матрицы A не меньше двух, так как минор
1 −2
3 1
= 1 + 6 = 7 6= 0. Ранг матрицы A равен двум, если det A =
= 0. Проверим это.
1 −2 4
3 1 5
−5 −4 −6
=
1 −2 4
0 7 −7
0 −14 14
=
7 −7
−14 14
= 0.
Следовательно, р анг матрицы A равен двум, и минор
1 −2
3 1
=
= 1 + 6 = 7 6= 0 является базисным, первые две с троки являются ба-
зисными. Третья строка в состав базисных не попала, по теореме о
базисном миноре она является линейной комбинацией первых двух.
Обозначим через λ
1
и λ
2
коэффициенты этой линейной комбинации.
Тогда λ
1
(1, −2, 4) + λ
2
(3, 1, 5) = (−5, −4, −6). Отсюда получаем си-
стему
(
λ
1
+ 3λ
2
= −5,
−2λ
1
+ λ
2
= −4,
4λ
1
+ 5λ
2
= −6,
решая которую, находим λ
1
= 1, λ
2
= −2.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- …
- следующая ›
- последняя »
