Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 109 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

8.4. Ранг матрицы (задача 4) 109
Во втором столбце ниже единицы также получили нули.
A
2
=
|
1 2 −2| 3 4
|0 1 3| −4 −10
|0
0 21| −23 −54
0 0 −42 46 p + 108
.
Ранг матрицы A
2
не менее трёх, так как обведённый минор
третьего порядка отличен от нуля. Ранг равен трём в том слу-
чае, когда третья и четвёртая строки пропорциональны, т.е. ес-
ли
21
−42
=
−23
46
=
−54
p + 108
. Отсюда +108 = +p + 108, следовательно,
p = 0. Итак, ранг матрицы A равен трём только при p = 0. При дру-
гих значениях p ранг матрицы A равен четырём.
8.4.4. В арифметическом линейном пространстве R
5
. даны че-
тыре вектора a
1
= (1, 2, 3, −1, 2), a
2
= (2, 3, 5, 1, 1), a
3
= (5, 8, 13, 1, 4)
и a
4
= (3, 4, 7, 3, 0). Найдите размерность линейной оболочки
L(a
1
, a
2
, a
3
, a
4
) и какой-нибудь её базис.
Решение. Размерность линейной оболочки L(a
1
, a
2
, a
3
, a
4
) совпа-
дает с рангом матрицы A, составленной из координат векторов a
1
,
a
2
, a
3
, a
4
. Находим ранг этой матрицы.
A =
1 2 3 −1 2
2 3 5 1 1
5 8 13 1 4
3 4 7 3 0
→
1 2 3 −1 2
0 −1 −1 3 −3
0 −2 −2 6 −6
0 −2 −2 6 −6
(первую строку, умноженную на 2, вычли из второй, умноженную на
5 вычли из третьей и умноженную на 3 — из последней).
Три последние строки полученной матрицы пропорциональны.
Любые две из них можно вычеркнуть, не изменив ранга матрицы.
Видим, что ранг матрицы A равен двум, а потому и размерность
линейной оболочки L(a
1
, a
2
, a
3
, a
4
) также равна двум. Первые две
строки матрицы A линейно независимы (объясните, почему). По-
этому в качестве базиса в L(a
1
, a
2
, a
3
, a
4
) можно принять векторы
a
1
и a
2
.
Задачи для самостоятельного решения
8.4.5. Докажите, что ранг матрицы A =
"
1 2 3 −5
−1 4 3 4
a b c d
#
при
любых значениях a, b, c, d не меньше двух.
8.4.6. Докажите, что столбцы матрицы A =
"
1 2 3 −5
4 7 −1 4
5 6 −2 3
#
линейно зависимы.

Страницы