Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 110 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

110 8. Методические указания (контрольная работа №1)
8.4.7. Докажите, что третья строка матрицы A =
"
1 −4 3
5 3 −1
13 17 −9
#
является линейной комбинацией первых двух, и найдите коэффици-
енты этой линейной комбинации.
Ответ. −2; 3.
8.4.8. Найдите ранг матрицы A =
1 1 −1 −2 −2 2
2 3 −2 −5 −4 5
1 −1 −1 0 −2 0
1 −2 −1 1 −2 −1
.
Ответ. 2.
8.4.9. Найдите размерность и какой-нибудь базис линейной
оболочки векторов a
1
= (1, 0, 0, −1), a
2
= (2, 1, 1, 0), a
3
= (1, 1, 1, 1),
a
4
= (1, 2, 3, 4), a
5
= (0, 1, 2, 3) арифметического линейного простран-
ства R
4
.
Ответ. 3; например, a
1
, a
2
, a
4
.
8.5. Формулы перехода к новому базису
(задача 5)
Необходимо изучить подраздел 3.9.
8.5.1. Относительно канонического базиса в R
3
даны четыре век-
тора: f
1
= (−3, 1, 2), f
2
= (1, −2, 3), f
3
= (−2, 1, −1), x = (−3, −2, 7).
Докажите, что векторы f
1
, f
2
, f
3
можно принять за новый базис,
и найдите координаты вектора x относительно этого базиса.
Решение. Составим матрицу C, записав в её столбцах координаты
векторов f
1
, f
2
, f
3
: C =
"
−3 1 −2
1 −2 1
2 3 −1
#
. Вычислим определитель
этой матрицы. Находим
det C =
−3 1 −2
1 −2 1
2 3 −1
=
0 −5 1
1 −2 1
0 7 −3
=
= 1 · (−1)
2+1
·
−5 1
7 −3
= −8.
Так как det C 6= 0, то векторы f
1
, f
2
, f
3
линейно независимы, а
потому могут быть приняты в качестве базиса в R
3
.
Матрица C невырожденная, а потому имеет обратную C
−1
. Най-
дём её (см. задачу 8.3.1).
A
1
1
=
−2 1
3 −1
= −1; A
2
1
= −
1 −2
3 −1
= −5; A
3
1
=
1 −2
−2 1
= −3;

Страницы