Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 108 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

108 8. Методические указания (контрольная работа №1)
8.4.2. Найдите те значения параметров p и q, если они существу-
ют, при которых ранг матрицы
|
1 −3| 4 1
|3
1| 2 5
p −3 14 17
5 −5 10 q
равен двум.
Решение. Так как обведенный минор второго порядка не равен
нулю, то ранг матрицы не меньше двух. Он будет равен двум, если
ни третья, ни четвертая строки вместе с первыми двумя не попадут в
состав базисного минора, т.е. только тогда, когда третья и четвертая
строки являются линейными комбинациями первых двух строк.
Обозначим через λ
1
и λ
2
коэффициенты линейной комбинации, с
помощью которых третья строка выражается через первые две, т.е.
λ
1
(1, −3, 4, 1) + λ
2
(3, 1, 2, 5) = (p, −3, 14, 17). Получаем систему
λ
1
+ 3λ
2
= p,
−3λ
1
+ λ
2
= −3,
4λ
1
+ 2λ
2
= 14,
λ
1
+ 5λ
2
= 17.
Решая систему
−3λ
1
+ λ
2
= −3,
4λ
1
+ 2λ
2
= 14,
находим λ
1
=
= 2, λ
2
= 3. При этих значениях λ
1
и λ
2
четвертое уравнение обраща-
ется в тождество, так как 2+15 = 17. Из первого уравнения находим
p = 2 + 9 = 11. Если бы четвертому уравнению найденные значения
λ
1
и λ
2
не удовлетворяли, то это означало бы, что не сущес твует
значений параметра p, при которых третья строка являлась бы ли-
нейной комбинацией первых двух. В этом случае ранг матрицы A
был бы не менее трёх.
Совершенно аналогично можно доказать, что четвертая строка
является линейной комбинацией первых двух только при q = 7. При
любых значениях p 6= 11 и q 6= 7 ранг матрицы A равен четырём.
(Объясните почему.)
8.4.3. Найдите то значение параметра p, при котором ранг мат-
рицы A =
1 2 −2 3 4
3 7 −3 5 2
2 −1 2 3 4
3 18 −12 7 p
равен трём.
Решение. Задачу можно было бы решить тем же способом, что
и задачу 8.4.2, но при этом возникла бы довольно сложная сист е-
ма. Чтобы избежать этого, преобразуем матрицу A, получив ну-
ли ниже диагонали 1, 7, 2, 7. Для этого вычитаем первую строку,
умноженную на три, из второй и четвертой; умноженную на два —
из третьей. Получаем матрицу A
1
=
1 2 −2 3 4
0 1 3 −4 −10
0 −5 6 −3 −4
0 12 −6 −2 p − 12
.

Страницы