Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

8.6. Решение систем линейных уравнений (задачи 6, 7 и 8) 113
Находим определитель D
4
(в определителе D четвёртый столбец
заменён столбцом свободных членов).
D
4
=
1 2 3 4
2 3 1 −1
1 4 4 3
2 5 3 −3
=
1 2 3 4
0 −1 −5 −9
0 2 1 −1
0 2 2 −2
=
=
−1 −5 −9
2 1 −1
2 2 −2
=
−1 −5 −9
0 −9 −19
0 1 −1
= −28.
По формуле Крамера x
4
=
D
4
D
=
−28
−14
= 2. Решим данную систе-
му методом Гаусса.
Записываем расширенную матрицу системы и преобразуем её к
треугольному виду, действуя только со строками.
1 2 3 2 4
2 3 1 1 −1
2 5 3 1 −3
1 4 4 3 3
→
1 2 3 2 4
0 −1 −5 −3 −9
0 2 2 0 −2
0 2 1 1 −1
→
→
1 2 3 2 4
0 −1 −5 −3 −9
0 0 −8 −6 −20
0 0 −1 1 1
→
1 2 3 2 4
0 −1 −5 −3 −9
0 0 −8 −6 −20
0 0 0 −14 −28
.
Таким образом, данная система эквивалентна системе
x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
+ 2x
4
= 4,
− x
2
− 5x
3
− 3x
4
= −9,
− 8x
3
− 6x
4
= −20,
− 14x
4
= −28,
из которой легко находим x
4
= 2; 8x
3
= 20 − 12, x
3
= 1; x
2
= 9 − 5−
−6 = −2; x
1
= 4 + 4 − 3 − 4 = 1. Получено решение: (1, −2, 1, 2).
8.6.2. Дана система
(
x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
+ 3x
4
+ 7x
5
= 30,
x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
+ x
5
= 7,
5x
1
+ 3x
2
+ x
3
+ x
4
− 7x
5
= −11.
Докажите, что эта система совместна, найдите её общее решение и
частное решение, если x
3
= x
4
= 1, x
5
= 3.
Решение. Применим к этой системе метод Гаусса. Запишем рас-
ширенную матрицу системы и преобразуем её, действуя только со
строками, к виду, из которого легко увидеть базисный минор.

Страницы